正四面体に内接する４個の球の半径の求め方

質問

正四面体に内接する４個の球の半径の求め方

「１辺の長さが６の正四面体ABCDがある。
頂点Aから底面BCDへ引いた垂線の足をHとする。
また、直線BHと辺CDとの交点をMとする。
半径がrの球が４個あり、どの球も他の３個の球と接しており、また、正四面体ABCDはこの４個の球を内部に含み、四面体のどの面も３個の球と接している。
このとき、ｒの値を求めなさい。」

について、同じ質問をしている方がいましたが、『高校への数学』では
対称性を用いて解答していました。
「正四面体の対称面（２頂点A、Dと辺BCの中点を含む面）で考えると、４個の
球のうち２個の中心がその面上に存在し・・・」と解説してました。
ここでわからないのが、なぜその対称面上に２個の球の中心が存在するのか
というところです。
クラスの人に聞いても、「対称性から明らか」と言われてそれ以上詳しく聞けません。
この「対称性から」という、何でもかんでもひっくるめた言い方がいつも気持ち悪く感じます。
私が納得したいのは、
○　こう言う理由で、２個の円の中心が対称面に存在する
○　こう言う理由で、対称性（面対称、点対称、回転対称）というものが言える（いきなり「対称性から・・・」ではなく）
です。
面倒くさい質問かもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

fujillin · ベストアンサー

文章のみなので、分かりにくいかもしれませんが、

頂点Aから各辺に同じ長さ（球を切断するくらいの長さ）の点をとり、各点を結ぶ面で切断した断面を考えてみます。
この断面は正三角形（正四面体の断面）とその重心を中心とする円（球体の断面）になります。

各頂点をbcd（bは正四面体の辺ABの断点）とすれば、各頂点から対辺の中点を結ぶ線上に円の中心があることはわかりますよね？
切断面はどこでとっても良いので（対象とする球を切断できる範囲で）、球の中心を通る面で切断したときも同様に中心はこの線上にあります。
この時、dから引いた円の中心を通る直線を考えてみると、正四面体のADを通りBCの中点を通る面の切断面（線）になっていることになります。

頂点Dについても同様のことが言えるので、同じ面上（ADを通りBCの中点を通る面）に2個の球の中心が存在することになります。

お礼

fujillinさん

ありがとうございました。
もう少し考えてみます。

回答No.2

Ishiwara

昔、牛乳を１人ぶん買うと、正４面体の紙容器に入ったものが来ました。あの時代を知っていると正４面体を想像するのが易しいのですが。そうでなくても‥‥
ボール紙で正４面体を作ります。中に球を入れたりするので、どれか１つの面は「取り外し・取り付け自由」としておきましょう。
さて、同じ大きさの球a、b、c、dがピッタリ入るものとしましょう。点Ａ、Ｂ、C、Ｄに最も近い球を、それぞれa、b、c、dと呼びます。
２つの球a、ｄを入れた状態で、ＢＣの中点Ｎに糸をつけてブラ下げます。
このときＮから見ると、ａとｄは、まったく同じ方法で定義されているので、この糸に対して「非対称」となる理由がまったくありません。つまり、この糸は、Ｎからスタートして、正４面体の中心、球ａ・ｄの接点、ＡＤの中点を通り、図形全体はこの糸に対して対称となります。
「非対称」とする条件が一つも述べられていないから「対称」だ、というのは、少し「奇弁」に聞こえるかもしれませんが、題意の中に「任意に取り得る条件」が一つもなく、だれが題意を元に作図しても対称形になる状況下では、「対称」とすることができます。
例えば「長方形の対角線の交点をＰとする」ならば、Ｐについてすべての辺・対角線が対称であることは、ふつうは証明しないで先へ進みます（証明できますが、ごちゃごちゃします）。これも「非対称とする理由がないから対称」という論理を使っています。

お礼

Ishiwaraさん

丁寧なご回答、ありがとうございました。
もう少し考えてみます。