定積分について

質問

定積分についてです。添付している写真(入力方法が分かりませんでした。)の定積分の値をx=√3tanθのように置換して求めるにはどうすればよいでしょうか？

よろしくお願いします。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.2

ki-inage

S=∫1/(x²+1)dx x:1→√3 t:π/4→π/3
　x=tantとする　　0≦x<π/2
　dx=sec²tdt
S=∫sec²t/(1+tan²t)dt
=∫dt=t=[π/3-π/4)=π/12

回答No.1

yyssaa

＞x=√3tanθからdx/dθ=√3(cos^2θ+sin^2θ)/cos^2θ=√3/cos^2θ
tan^2θ=sin^2θ/cos^2θ=(1-cos^2θ)/cos^2θ=1/cos^2θ-1だから
dx/dθ=√3/cos^2θ=√3(1+tan^2θ)=√3(1+x^2/3)=(√3/3)(3+x^2)
dx=(√3/3)(3+x^2)dθ
x=1のときtanθ=1/√3からθ=π/6
x=√3のときtanθ=1からθ=π/4
よって∫(x=1→√3)1/(x^2+3)dx
=∫(θ=π/6→π/4){1/(x^2+3)}(√3/3)(3+x^2)dθ
=(√3/3)∫(θ=π/6→π/4)1dθ
=(√3/3)[θ](π/6,π/4)=(√3/3)(π/4-π/6)=√3π/36