数学IIIに関する問題

質問

写真の485番の解説お願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

485
＞x-√t≧0すなわちx^2≧tの範囲で|x-√t|=x-√t
x^2＜tの範囲で|x-√t|=√t-xだから、
積分範囲t=0→4をt=0→x^2とt=x^2→4とに分けて
対応するx-√tと√t-xをそれぞれ積分する。
f(x)=∫[t=0→4]|x-√t|dt
=∫[t=0→x^2](x-√t)dt+∫[t=x^2→4](-x+√t)dt
=x∫[t=0→x^2]dt-∫[t=0→x^2]√tdt-x∫[t=x^2→4]dt+∫[t=x^2→4]√tdt
=x(t)[t=0→x^2]-x(t)[t=x^2→4]-{(2/3)t^(3/2)}[t=0→x^2]+{(2/3)t^(3/2)}[t=x^2→4]
=(2/3)x^3-4x+16/3
f'(x)=2x^2-4=2(x^2-2)=2(x-√2)(x+√2)
f"(x)=4x、x＞0でf"(x)＞0だからf(x)のグラフは下に凸
0≦x≦2でf(x)はx=√2で極小(最小)となり、x=0又はx=2で
最大となる。
f(0)=16/3、f(2)=(2/3)*8-4*2+16/3=8/3
f(√2)=(2/3)(√2)^3-4(√2)+16/3
=-8√2/3+16/3=(16-8√2)/3
最大値：16/3、最小値：(16-8√2)/3・・・答

お礼

ありがとうございます

回答No.2

info222_

f(x)=∫[0,4] |x-(√t)| dt
=∫[0,x^2] (x-t^(1/2)) dt+∫[x^2,4] (t^(1/2) -x) dt
=[xt-(2/3)t^(3/2)][0,x^2]+[(2/3)t^(3/2)-xt][x^2,4]
=(1/3)x^3+{(16/3)-4x+(1/3)x^3}
=(2/3)x^3-4x+(16/3)

f'(x)=2x^2-4=2(x^2-2)
f'(x)=0, x=±√2
0≦x<√2のとき f'(x)<0, f(x)単調減少
√2<x≦2のとき　f'(x)>0, f(x)単調増加
x=√2のとき　f(x)は極小値をとる。
0≦x≦2の範囲で
極小値=8(2-√2)/3は１つのみ。極大値は無し。
∴最小値f(√2)=8(2-√2)/3

最大値はf(0)とf(2)の大きい方であるから
f(0)=16/3, f(2)=8/3
∴最大値f(0)=16/3