数学IIIの問題

質問

ド・モアブルの定理に関する問題です 解説もお願いします 下記が問題です
1. 次の式を簡単にせよ
　(1) (cos60°+isin60°)^4　　　　　(2) (√3- i)^5　　　(3) (3/2+√3i/2)^5

2.方程式 z^4 -1=0を解き、その解を図示せよ

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

1.
(1) (cos60°+isin60°)^4＝cos(4×60°)+isin(4×60°)=cos(240°)+isin(240°)
=-cos60°-isin60°=-1/2-i√3/2

(2) (√3- i)^5＝(2^5)(√3/2- i/2)^5=2^5(cos30°-isin30°)^5=2^5(cos150°-isin150°)
=2^5(-√3/2-i/2)=-16√3-16i

(3) (3/2+√3i/2)^5=(√3)^5(√3/2+i/2)^5=(√3)^5(cos30°+isin30°)^5
=(√3)^5(cos150°+isin150°)=(√3)^5(-√3/2+i/2)=-27/2+i9√3/2

2.方程式 z^4 -1=0を解き、その解を図示せよ
z^4=1 これより|z|=1なのでz=e^(iθ)とおくと1=e^(i2πn) (n:整数）
e^(i4θ)＝e^(i2πn)
4θ＝2nπ
θ＝nπ/2(n=0,1,2,3)

複素平面上の(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)が解の複素数である。