数学IIIに関する問題

質問

写真の473番、誰か解説お願いします！

回答No.2

yyssaa

473
(1)＞両放物線の交点はax^2=4-x^2よりx=±2/√(a+1),y=4a/(a+1)
この立体を平面y=y1(0≦y1≦4a/(a+1))で切った断面(中抜き円板)
の面積はπ{(4-y1)-y1/a}だから
V1=∫[y1=0→4a/(a+1)]π{(4-y1)-y1/a}dy1、変数をyに書換えて
V1=∫[y=0→4a/(a+1)]π{(4-y)-y/a}dy
=π∫[y=0→4a/(a+1)]{(4-(1+1/a)y}dy
=π{4y-(1/2)(1+1/a)y^2}[0,4a/(a+1)]
=π[4{4a/(a+1)}-(1/2)(1+1/a){4a/(a+1)}^2]
=π{16a/(a+1)-8a/(a+1)}=8aπ/(a+1)・・・答
(2)＞この立体を平面y=y1(0≦y1≦4a/(a+1))で切った断面(円板)の
面積はπy1/a、
同じくこの立体を平面y=y2(4a/(a+1)≦y2≦4)で切った断面(円板)の
面積はπ(4-y2)だから立体の体積V2は、y1、y2を共にyとして
V2=∫[y=0→4a/(a+1)](πy/a)dy+∫[y=4a/(a+1)→4]π(4-y)dy
=(π/a){(1/2)y^2}[0,4a/(a+1)]+π{4y-(1/2)y^2}[4a/(a+1),4]
=(π/a)[(1/2){4a/(a+1)}^2]+π[{4*4-(1/2)*16}-[4{4a/(a+1)}-(1/2){4a/(a+1)}^2]]
=8aπ/(a+1)^2+8π-16aπ/(a+1)+8a^2π/(a+1)^2
=8π-8aπ/(a+1)
V1=V2→8aπ/(a+1)=8π-8aπ/(a+1)をaについて解いてa=1・・・答

回答No.1

info222_

(1)
2本の放物線の交点を求めると
　(-2/√(a+1),4a/(a+1)),　(2/√(a+1),4a/(a+1))
y軸の周りの穴あき回転体の体積の公式
　V=π*∫[y_1,y_2] (x_3^2-x_4^2) dy
を用いて
　V_1=π*∫[0,4a/(a+1)] (4-y)-(y/a) dy=8πa/(a+1) ...(答)

(2)
y軸の周りの回転体の体積の公式
　V=π*∫[y_1,y_2] (x^2) dy
を用いて
　V_2=π*∫[0,4a/(a+1)] (y/a) dy+π*∫[4a/(a+1),4] (4-y) dy
　＝8π/(a+1) ...(☆1)
(1)の答えのV_1と(☆1)のV_2を等しいとおくと
8πa/(a+1)=8π/(a+1)
両辺を8π/(a+1)(>0)でわると　
　a=1　...(答)