円の接線の方程式

質問

円C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上の点(x1,y1)における接線の方程式は、
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2とありますが、
何故、aもbも全部マイナスなんでしょうか？

Cの中心(a,b)が原点(0,0)にくるように平行移動し、
その円の接線の方程式を求め、
その接線を、元の位置に平行移動し戻す、という手順だと思うんですが、
そうすると、中心と接線が移動する方向は反対ですよね？
なのに何故、a,bの符号が両方ともマイナスなのか、というのがわかりません。

わかる方解説お願いします。

回答No.2

take_5 · ベストアンサー

＞何故、aもbも全部マイナスなんでしょうか？

x-a＝Ｘ、y-b＝Ｙとすると、点Ｐ(x1,y1)は　点Ｑ（x1-a、y1-b）に変換され、円:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2も　Ｘ＾2＋Ｙ＾2＝r^2に変換される。
つまり、Ｘ＾2＋Ｙ＾2＝r^2の点Ｑ（x1-a、y1-b）における接線を求めると良い。
(x1-a)Ｘ+(y1-b)Ｙ＝r^2となるから、流通座標に戻すと(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2。

お礼

わかりやすかったです、ありがとうございます。

回答No.5

Quattro99

ご質問に書かれている手順で、最初の段階ではx軸方向に-a、y軸方向に-b移動するのですから、接点の座標が(x1-a,y1-b)になります。こちらはたぶん疑問に感じていないと思います。

疑問に感じるのは、円の接線の方程式に限らず、例えばy=f(x)をx軸方向に+a、y軸方向に+b移動するとy-b=f(x-a)となるのが変に感じるということなのではないでしょうか。
y=f(x)上のある点をx軸方向に+a、y軸方向に+b移動した点を(p,q)とすると、それを元に戻した点は(p-a,q-b)です（この手順で符号は-となります）。この元に戻した点(p-a,q-b)はy=f(x)を満たしますから、q-b=f(p-a)が成り立ちます。従って、(p,q)はy-b=f(x-a)上にあることになり、y=f(x)上のすべての点を移動させた点の集まりはy-b=f(x-a)となります。

回答No.4

KappNets

点 (a, b) から (x1, y1) に向かう直線の傾きは (y1-b)/(x1-a) です。
従ってこれと直交する直線の傾きは -(x1-a)/(y1-b) です。
この直線は (x1, y1) を通りますから、
y-y1=-(x1-a)/(y1-b)*(x-x1)
が求める式です。整理すると
(y1-b)*(y-y1)+(x1-a)*(x-x1)=0
です。x1, y1 を右辺に移動させますと
(y1-b)*(y)+(x1-a)*(x)=x1*(x1-a)+y1*(y1-b)
となります。さらに左辺の x が x-a、y が y-b となるように、つまり両辺に -a*(x1-a)-b*(y1-b) を加えて整理すると
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=(x1-a)^2+(y1-b)^2
となります。右辺は=r^2ですので、解となります。
もっと速い解法もあるかも知れませんね。

回答No.3

age_momo

では、こちらは平行移動を使わず、

x1≠a,y1≠bの時、
円の中心から(x1,y1)に引いた直線の傾き：(y1-b)/(x1-a)
(x1,y1)における接線の傾き：-(x1-a)/(y1-b)
(x1,y1)での接線の方程式：
y-y1=-(x1-a)/(y1-b) *(x-x1)
(x1-a)(x-x1)+(y1-b)(y-y1)=0
(x1,y1)が円上の一点であるので
(x1-a)^2+(y1-b)^2=r^2
これを辺辺に足すと
(x1-a)(x1-a+x-x1)+(y1-b)(y1-b+y1-b)=(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2
これはx1=aやy1=bのときも成立するので
円C上の一点(x1,y1)での接線の方程式は
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r^2

回答No.1

banakona

＞Cの中心(a,b)が原点(0,0)にくるように平行移動し、
＞その円の接線の方程式を求め、
＞その接線を、元の位置に平行移動し戻す、という手順だと思うんですが、

この手順でやってみましょう。
１行目で　円はｘ^2＋ｙ^2＝ｒ^2
　　　　　接点は(x1－a,y1－ｂ)
２行目で　接線の方程式は　（x1－a）ｘ＋（ｙ１－ｂ）ｙ＝ｒ^2
３行目で　（x１-a）（x－a）＋（ｙ１ーｂ）（ｙ－ｂ）＝ｒ^2

となるので合っていそうです。