共点と共線の関係

質問

塾の宿題で、はっきりとは分からない問題があるので教えてください。
（問題）
異なる3直線 (1)x+y=1,　(2)3x+4y=1,　(3)ax+by=1が一点で交わるとき、3点(1,1),(3,4),(a,b)は同じ直線上にある事を示せ。

直線(1)～(3)が1点P(p,q)で交わるとき、(3)からap+bq=1
ap+bq=1は点(p,q)が直線ax+by=1上にある。
　　　　 点(a,b)が直線px+qy=1上にある。
と2通りに読み取ることができる、事を利用するそうです。これもいまいち分かりません。
またPOINTというところに、「直線f(x,y)=0が点(a,b)を通る　ならば
f(a,b)=0」とも書いてありますが、これも分かりません。

さて、解き方です。P(p,q)は原点にならないので、(1)(2)(3)が点Pを通ることからp+q=1,3p+4q=1,ap+bq=1つまり
(4)p・1+q・1=1
(5)p・3+q・4=1
(6)p・a+q・b=1
であり、p≠0またはq≠0
ゆえに、方程式px+qy=1を考えると、(4)(5)(6)から、3点(1,1),(3,4),(a,b)は同じ直線上にある。

解き方も、「つまり」の後からよく分かりません。
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

hh69 · ベストアンサー

「点（p,q）が直線ax+by=1上にある時、ap+bq=1になる」ということを例を挙げて説明してみましょう。
例えばx+y=1という直線を考えてみます。x+y=1をグラフに書いてみればわかると思いますが、(-1,2), (0,1), (1,0), (2,-1)などの点を通りますね。この時、それぞれの括弧の中を足して見ると、全部１になります。つまり、x+y=1という直線上に点(p,q)をとってみると、p+q=1になるということができます。
今のはa=1, b=1とした場合の例ですが、a,bがどんな場合でも、ap+bq=1になることが言えます。わからなければ実際にグラフを書いて試してみてください。
さて、今度はpx+qy=1という直線を考えてみましょう。一番最初に書いたかぎかっこの文で、pの代わりにa, qの代わりにb, aの代わりにp, bの代わりにqで置き換えてみましょう。
「点（a,b）が直線px+qy=1上にある時、pa+qb=1になる」になりますね。これで「ap+bq=1は点(p,q)が直線ax+by=1上にある。点(a,b)が直線px+qy=1上にある。と2通りに読み取ることができる」ということが説明できました。

「直線f(x,y)=0が点(a,b)を通る　ならば　f(a,b)=0」というのは今までの説明を言い換えたものです。f(x,y)=px+qy-1と置いてみましょう。f(a,b)はf(x,y)にx=a,y=bを代入したものなので、f(a,b)=pa+qb-1になり、「直線px+qy=1上の点(a,b)はap+bq=1を満たす」という上記の説明より確かにf(a,b)=0になりますね。

次に質問の(4)(5)(6)についてです。
直線px+qy=1を考えてみましょう。先程の「点（a,b）が直線px+qy=1上にある時、pa+qb=1になる」より、(6)は言えますね。今度はaの代わりに1, bの代わりに1を入れてみましょう。「点（1,1）が直線px+qy=1上にある時、p・1+q・1=1になる」となり(4)が言えますね。同様にaの代わりに3, bの代わりに４を入れれば(5)が言えます。以上より、(a,b),(1,1),(3,4)はいずれも直線px+qy=1にあることが言えます。

回答No.4

eliteyoshi

式(1),(2)より、交点の座標は(3,-2)と求められる。
式(3)は交点座標(3,-2)を通るから
3a-2b=1
a,bの関係は以下のようになる。
b=(3/2)a-(1/2)　…(4)

また、(1,1),(3,4)を通る直線の式は
y-1={(4-1)/(3-1)}(x-1)
y=(3/2)x-(1/2)　…(5)
である。この直線は座標(a,b)も通るから式(5)より
b=(3/2)a-(1/2)　…(6)
となる。

式(4)=式(6)のため、式(1),(2),(3)が1点で交わるときと、3点(1,1),(3,4),(a,b)が同じ直線上にあるときのa,bの関係が同じである。よって題意を示すことができる。

でどうでしょうか。

回答No.2

postro

これはずいぶん技巧的な回答だと感じました。
反対側から考えてみたらいかがでしょうか？
つまり、直線の方程式px+qy=1について考えれば、（ただし、p≠0またはq≠0）
(4)p・1+q・1=1　が成り立つなら、点(1,1)はこの直線上にある
(5)p・3+q・4=1　が成り立つなら、点(3,4)はこの直線上にある
(6)p・a+q・b=1　が成り立つなら、点(a,b)はこの直線上にある
そして実際に
(4)p・1+q・1=1
(5)p・3+q・4=1
(6)p・a+q・b=1
これらはすべて成り立つ。なぜならもともと点P(p,q)は直線(1)～(3)上の点だから。
というわけです。

直線の方程式
px+qy+r=0
というのがあったとして、このようなx,yが含まれている式を
f(x,y)=px+qy+r
とすることがあります。この場合f(x,y)=0 は直線を表す方程式です。
その時に、直線f(x,y)=0が点(a,b)を通る　ならば、
x,yにa,bを代入したf(a,b)=0が成り立つ、ということを言っています。

回答No.1

pyon1956

１）＞「直線f(x,y)=0が点(a,b)を通る　ならば
f(a,b)=0」

　まず基本が重要です。f(a,b)という書き方は通常高校以下ではしない（多変数関数は大学相等です）のですが、「ある式のxにa, yにbを代入する事」と考えて下さい。そうすると点が直線上にある事はその直線の方程式をその点の座標が満たす、というむしろこれは図形の方程式の定義そのものです。
この場合何も方程式は「=0」で書いてなくてもいいのでax+by=1やpx+qy=1も直線の方程式です。だから、ap+bq=1はax+by=1のxにp、yにqを代入した、ともとれるし、px+qy=1のxにa , yにbを代入した、ともとれる。それが
＞ap+bq=1は点(p,q)が直線ax+by=1上にある。
　　　　 点(a,b)が直線px+qy=1上にある。
と2通りに読み取ることができる
の意味です。

2)つまり、以下はp+q=1,3p+4q=1,ap+bq=1という3つの式を変形しているだけです。
こう変形すればいずれもpx+qy=1という直線の方程式に3点(1,1),(3,4),(a,b)の座標をそれぞれ代入した式になっている、というところが味噌ですね。このことからこの3点はいずれも直線px+qy=1の上にある事がいえます。

要は、直線の方程式、というのが点の座標が満たす条件式である事をちゃんと理解する事だと思います。