この数学の疑問なんとかしてください

質問

次の条件が成り立つための定義a,b,cの必要十分条件を求めよ。
ax^2+bx+cの値が偶数になる。

解説 ax^2+bx+c=f(x)とする。
[1]条件より、f(0)=c,f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+cが偶数であるから、l,m,nを整数としてc=2l,a+b+c=2m,a-b+c=2nとおけ る。これから、a+b=2(m-l),a-b=2(n-l),c-2・・・・・(1)

と途中までかかれていたんですが、疑問に思いました。まず、必要条件を考えようとしているのはわかるんですが、何を意図しているのかサッパリわかりません。 なぜ、ｘ＝１、ｘ＝－１、ｘ＝０を代入しているんでしょうか？？
またｘ＝１、２，３とかではなぜ駄目なのでしょうか？？？

何を意図して代入しているのか踏まえて教えて下さい。

回答No.2

nag0720

「必要条件」だからです。

xはなんでもいいんです。
調べたい変数がa,b,cの３つあるのだから、xの値の３つ適当に決めて、式を３つ作ればa,b,cが求められるのではないか、という予想ができます。
xはなんでもいいんですが、ax^2+bx+cが一番簡単になるのは、x=0のときですよね。
その次に簡単になるのは、x=1,x=-1のときです。
だから、x=0,1,-1の３つにしているのです。

もちろん、x=1,2,3にしてもいいのですが、式が少し複雑になるので証明が面倒になるだけで、駄目というわけではありません。

回答No.1

gohtraw

ひとことでいえば、後の式の変形をやりやすくするためです。ｆ（０）などはその最たるもので、一発でｃが偶数と判るのですから、これを使わない手はありません。
　ｘの値によらずｆ（ｘ）が偶数になるわけなので、何を代入しても構わないのです。あとの変形、導出ができるのであれば。