数学の難問

質問

aを正の定数とする。y=a/2(e^x/a+e^-x/a)であらわされる曲線をＣとするとき
（１）曲線Ｃの a≦y≦tの部分の長さl(t)をaとtを用いて表せ
（２）直線y=t(a＜t)と曲線Ｃで囲まれる部分の面積をS(t)とするとき
　　　lim(t→∞)S(t)/l(t)logtを求めよ

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

C:y=(a/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))=a*cosh(x/a) (a>0)

(1)
x=a*cosh^-1 (y/a)
微分公式d{cosh^-1(u/a)}/du=1/√(u^2-a^2)を用いて
dx/dy=a/√(y^2-a^2)
y軸方向の曲線長の公式を用いて l(t)を求めると
l(t)=2∫[a,t]√{1+(dx/dy)^2}dy
=2∫[a,t]√{1+a^2/(y^2-a^2)}dy
=2∫[a,t] y/√(y^2-a^2)dy
=2[√(y^2-a^2)][a,t]
=2√(t^2-a^2) ...(答)

(2)
y=tのとき　x=a*cosh^-1(t/a) なので
S=2t*a*cosh^-1(t/a)-2∫[a,t] a*cos^-1(y/a) dy

積分公式∫cosh^-1(u/a) du=u*cosh^-1(u/a)-a^2*√(u^2-a^2)+Cを用いて
=2t*a*cosh^-1(t/a)-2a*(t*cosh^-1(t/a)-√(t^2-a^2))
=2a√(t^2-a^2) ...(答)

回答No.3

yyssaa

失礼しました。回答No.2を以下の通り訂正します。
（１）曲線Ｃの a≦y≦tの部分の長さl(t)をaとtを用いて表せ
＞曲線Ｃ上の微小長を△lとすると△l=√{(△x)^2+(△y)^2}
dl/dy=√{1/(dy/dx)^2+1}、l(t)=∫[a→t]√{1/(dy/dx)^2+1}dy
ここでdy/dx=a/2{(1/a)e^(x/a)-(1/a)e^(-x/a)}
=(1/2){e^(x/a)-e^(-x/a)}
(dy/dx)^2=(1/4){e^(2x/a)+e^(-2x/a)-2}
=(1/4){e^(2x/a)+e^(-2x/a)}-1/2=y^2/a^2-1=(y^2-a^2)/a^2
1/(dy/dx)^2+1=y^2/(y^2-a^2)、√{1/(dy/dx)^2+1}=±y/√(y^2-a^2)
だから、l(t)=∫[a→t]±y/√(y^2-a^2)dy
0＜a≦y≦tでy/√(y^2-a^2)と-y/√(y^2-a^2)はy軸を対称軸としている
ので、l(t)=2∫[a→t]y/√(y^2-a^2)dy、y^2-a^2=uで置換して
l(t)=2∫[0→t^2-a^2](1/2)u^(-1/2)du=∫[0→t^2-a^2]u^(-1/2)du
={2u^(1/2)}[0→t^2-a^2]=2√(t^2-a^2)・・・答

回答No.2

yyssaa

取り敢えず（１）をざくっと計算すると、
（１）曲線Ｃの a≦y≦tの部分の長さl(t)をaとtを用いて表せ
＞曲線Ｃ上の微小長を△lとすると△l=√{(△x)^2+(△y)^2}
dl/dy=√{1/(dy/dx)^2+1}、l(t)=∫[a→t]√{1/(dy/dx)^2+1}dy
ここでdy/dx=a/2{(1/a)e^(x/a)-(1/a)e^(-x/a)}
=(1/2){e^(x/a)-e^(-x/a)}
(dy/dx)^2=(1/4){e^(2x/a)+e^(-2x/a)-2}
=(1/4){e^(2x/a)+e^(-2x/a)}-1/2=y^2/a^2-1=(y^2-a^2)/a^2
1/(dy/dx)^2+1=y^2/(y^2-a^2)だから、y^2-a^2=uで置換して
l(t)=∫[a→t]y/√(y^2-a^2)dy=∫[0→t^2-a^2](1/2)u^(-1/2)du
={u^(1/2)}[0→t^2-a^2]=√(t^2-a^2)・・・答