数学III

質問

0≦x≦π/2とする。2曲線C:1 y=sin2xとC:2 y=a-2cosxが接する時、次の問いに答えよ。ただし、2曲線C:1とC:2が共有点における2曲線の接線が一致することである。

（1）定数aの値を求めよ。
（2）（1）で求めたaに対して、曲線C:1、C:2およびy軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

宜しくお願いします！m(_ _)m

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

(1)
2曲線が共有点(b,sin(2b))(0≦b≦π/2)で接するとすると
y=sin(2x)...(A1)の接線
y=2cos(2b)(x-b)+sin(2b)...(B1)
と
y=a-2cos(x)...(A2)の接線
y=2sin(b)(x-b)+sin(2b)...(B2)
ただし, sin(2b)=a-2cos(b) ...(C1)
が一致することことから接線の傾きも一致するから
2cos(2b)=2sin(b) ...(C2)

(C2)より
sin(b)-cos(2b)=sin(b)+2sin^2(b)-1
=(2sin(b)-1)(sin(b)+1)=0
0≦b≦π/2より　sin(b)≧0であるから　sin(b)+1>0
∴ sin(b)=1/2　∴b=π/6
(C1)より
a=sin(2b)+2cos(b)
=sin(π/3)+2cos(π/6)
=(3√3)/2 ...(答)

(2)
(1)より a=(3√3)/2 、b=π/6
２曲線の接点は(π/6,sin(π/3))=(π/6,(√3)/2)

この時2曲線(A1),(A2)は
y1=sin(2x)...(A1’)
y2=(3√3)/2 -2cos(x)...(A2')
(ただし 0≦x≦π/2)
であるから
2曲線とy軸で囲まれる面積Sは
y2≧y1なので
S=∫[0,b]{y2-y1}dx
=∫[0,π/6]{(3√3)/2 -2cos(x)-sin(2x)}dx
=3√3)/2・π/6-2[sin(x)][0,π/6]+[(1/2)cos(2x)][0,π/6]
=(√3)π/4-1+(1/4)-(1/2)
=((√3)π-5)/4 ...(答)

お礼

なるほど！おかげさまで解けました(*^ω^*)
ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

どこまでできている? そしてなにがわからない?

お礼

親身になって下さり、ありがとうございました。なんとか今日この問題を解決できました！

回答No.1

Tacosan

問題の文章がおかしいです.

補足

すみませんでした󾭛
【訂正】2行目から
ただし、2曲線C:1とC:2が接するとは、C:1とC:2が共有点をもち、その共有点における2曲線の接線が一致することである。

でした。申し訳ありません。