数学の問題を解いてください！

質問

全然分からないです。お願いします！

曲線y=x3乗-x+1と直線y=2x+a(a<0)
が接するときのaの値を求めよ。
またこのとき、曲線と直線で囲まれる部分の面積を求めよ。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

y = x^3 - x + 1
と
y = 2x + a
の接点においては、接線の傾きは同じである。
後者は1次関数であり、接線の傾きは2で固定。
前者の接線の傾きが2になる点の座標を求める。
y' = 3x^2 - 1 = 2
3x^2 = 3
x^2 = 1
x = ±1
3次関数のグラフの形状とa < 0という条件から、x = -1は不適。
∴x = 1
y = 1 - 1 + 1 = 1
∴接点の座標は(1, 1)
y = 2x + a
が点(1, 1)を通るから、
1 = 2 + a
∴a = -1

y = x^3 - x + 1
と
y = 2x - 1
の（接線以外の）交点を求める。
x^3 - x + 1 = 2x - 1
x^3 - 3x + 2 = 0
この3次方程式はx = 1という重解を持つ（接点だから）。
x^3 - 3x + 2 = (x + 2)(x - 1)^2 = 0
より、x = -2
開区間[-2, 1]においては3次関数の方が直線よりも上にあるから、
求める面積は
∫(-2→1)(x^3 - x + 1 - 2x + 1)dx
= ∫(-2→1)(x^3 - 3x + 2)dx
= [x^4/4 - 3x^2/2 + 2x](-2→1)
= (1/4 - 3/2 + 2) - (4 - 6 - 4)
= 1/4 - 6/4 + 2 + 6
= 8 - 5/4
= 27/4

回答No.3

asuncion

おっと失礼。

＞開区間

開区間のわけがないですね。閉区間です。

回答No.1

spring135

こんな標準的な問題は教科書にも問題集にもわんさか載っていると思われる。

y=x^3-x+1 (1)

y=2x+a (2)

曲線(1)上の点(p,q)における接線は

y-q=y'(p)(x-p) (3)

y'(p)=3p^2-1 (4)

q=p^3-p+1 (5)

(4)(5)を(3)に代入して

y=(3p^2-1)x-2p^3+1 (6)

(6)と(2)が一致するためには

3p^2-1=2 (7)

-2p^3+1=a (8)

(7)よりp=1またはｐ＝-1

(i)p=1のときa=-1

(ii)p=-1のときa=3

a<0より(i)の場合が解：p=1、a=-1

曲線と直線で囲まれる部分の面積＝Sを求める。

S=∫(c→1）[x^3-x+1 -(2x-1)]dx

cは（1）,(2)の交点でx=1以外のもの。

x^3-x+1=2x-1

より

(x-1)^2(x+2)=0

よって

c=-2

S=∫(-2→1）[x^3-3x+2]dx=[x^4/4-3x^2/2+2x](-2→1）=35/4