以下の手順で考えて下さい。
(1) グラフを描いてみる(または想像してみる)
(2) 接線の方程式を求める
(3) 面積を積分で求める
(1)
曲線1 y=x^2+t^2 → 頂点(0,t^2)の下に凸の放物線,
曲線2 y=x^2-2tx+3t^2 = (x-t)^2+2t^2 → 頂点(t,2t^2)の下に凸の放物線.
(2)接線
曲線1の接点を (x1,y1)、曲線2の接点を(x2,y2)とする。
y1=x1^2+t^2, …(i)
y2=(x2-t)^2+2t^2. …(ii)
接線の傾きについて方程式を立てる。
(接線の傾き) = (曲線1のx1での微分係数) = (曲線2のx2での微分係数),
(y2-y1)/(x2-x1) = 2 x1 = 2 x2 - 2 t,
(y2-y1)/(x2-x1) = 2 x1, …(iii)
2 x1 = 2 x2 - 2 t. …(iv)
(i)-(iv)を連立させて x1,y1,y1,y2 を得る。
→ x1 = t/2, y1 = (5/4)t^2, x2 = (3/2)t, y2 = (9/4)t^2
(接線の傾き) = 2 x1 = t である。接線の方程式は
y = t (x-x1) + y1,
= tx + (3/4) t^2.
(3)面積
曲線1と曲線2の交点は、y=x^2+t^2, y=x^2-2tx+3t^2 を連立させて解くと
→(x,y)=(t,2t^2).
曲線1, 曲線2, 接線の位置関係を考えながら面積の式を立てる。
(面積)
= ∫[x=t/2～t] ((x^2+t^2)-(tx+(3/4)t^2)) dx
+ ∫[x=t～(3/2)t] (((x-t)^2+2t^2)-(tx+(3/4)t^2)) dx
= t^3/12.
