複素n次正方行列に関する質問です。

質問

λ∈Cに対して次のような複素n次正方行列N, J[λ]（n）を考えます。
Nは、1行2列目、2行3列目、3行4列目、……、（n-1）行n列目の成分が全て1になっていて、残りの成分が全て0の行列です。（つまり単位行列の対角成分を右に一個ずつずらした感じです）
J[λ]（n）は、対角成分が全てλで、1行2列目、2行3列目、3行4列目、……、（n-1）行n列目の成分が全て1になっていて、残りの成分は全て0の行列です。
したがって、J[λ]（n）=λE+N が成り立ちます。それで、k≧nという条件の下で、J[λ]（n）のk乗を求めたい場合、
｛J[λ]（n）｝^k=Σ【r=0→k】kCr（λE）^（k-r）*N^r となりますが、このときの1行n列目の成分がどうなるのかわからないので教えてください。
たぶん、kC(k-n)*λ^nか、kC(n-1)*λ^（k-n+1）のどちらかだと思います。

回答No.1

KI401 · ベストアンサー

Nは冪零。
N^(n-1)が右上隅(1行n列目)だけ1で他が0であるような行列で、N^n=0となる。
つまり、N^(n-1)のとこの係数を見れば良くて、
・k<n-1のとき、そもそもN^(n-1)が現れないので0
・k≧n-1のとき、N^(n-1)の係数kCn-1*λ^(k-n+1)
で、今もちろんk≧nなので、後者だ。

kC(k-n)*λ^nがどっから出てきたのか分からんが、まぁそういうことだ。
ジョルダン標準系の何が嬉しいって、べき乗を求めるときに冪零Nのおかげで
有限和で書けることだ。Σ[r=0～k]って書いてるが、今の場合k≧nが保障されてるので、
n次以降は全て0で消えてって、実質Σ[r=0～n-1]なんだよね。

お礼

どうもありがとうございました。
助かりました！