0割のパラドックス？？？

質問

（ｘ＾2-1）／（ｘ+1）＝（ｘ－１）（ｘ＋１）／（ｘ+1）＝ｘ-1
となるのですが、
これって、ｘ＝-1の場合、式の値は-1-1＝-2となります。

しかし、元の式でｘ＝-1なら、分母＝0となり、割り算を実行できません。

なのに、因数分解して、代入すると、-2という結果がでます。

疑問は、元の式に、ｘ≠-1 という条件が書かれていないにもかかわらず、

ｘ＝-1の場合、式の値は-1-1＝-2となることが納得できません。

どなたか、解説願います。

回答No.3

QCD2001 · ベストアンサー

元の式で　Ｘ＝－１　の場合、

（（－１）＾２－１）／（（－１）＋１）
＝（１－１）／（－１＋１）
＝０／０

となります。
分子が０のとき。これを１０で割ってもゼロですし、０.１で割ってもゼロです。
０はいくつで割ってもゼロです。

ですから、分子が０の分数は、分母がいくつであってもゼロになるはずなのです。

がしかし、どんな数もゼロで割ることはできません。
だったら、ゼロをゼロで割ったらどうなるか・・・？
結局、
０／０
というのは、普通の数ではないわけです。ですから、普通の数と同じように「ゼロでは割れないから・・・」という議論をしてはいけないのです。
そこで、極限と言う考え方を使うわけです。

Ｘ＝－０.９ のとき
（（－０.９）＾２－１）／（（－０.９）＋１）
＝（０.８１－１）／０.１＝－１.９

Ｘ＝－０.９９ のとき
（（－０.９９）＾２－１）／（（－０.９９）＋１）
＝（０.９８０１－１）／０.０１＝－１.９９

Ｘ＝－０.９９９ のとき
（（－０.９９９）＾２－１）／（（－０.９９９）＋１）
＝（０.９９８００１－１）／０.００１＝－１.９９９

というように、Ｘが０に近い方から－１に近づくと、式の値は－２に近づきます。

同様に、Ｘが０から遠いほうから－１に近づくと、

Ｘ＝－１.１のとき
（（－１.１）＾２－１）／（（－１.１）＋１）
＝（１．２１－１）／（－０.１）
＝－２.１

Ｘ＝－１.０１のとき
（（－１.０１）＾２－１）／（（－１.０１）＋１）
＝（１．０２０１－１）／（－０.０１）
＝－２.０１

Ｘ＝－１.００１のとき
（（－１.００１）＾２－１）／（（－１.００１）＋１）
＝（１．００２００１－１）／（－０.００１）
＝－２.００１

というようにして、式の値は－２に近づきます。
Ｘが大きいほうから－１に近づいても、小さいほうから－１に近づいても、式の値は－２に近づくので、Ｘが－１になったときの式の値は－２である、という「ことにする」わけです。

質問者さんが納得しようとしまいと、０／０というわけのわからない数の扱いは「このようにしましょう。」ということになっているのです。
分子が０の分数を、それ以外にはうまく扱う方法がないのです。

似たような式で、こんな式もありますよ。

１÷３×３
＝０.３３３３３３・・・×３
＝０.９９９９９９・・・
≠１

どうでしょう？

お礼

回答ありがとうございます。
ｘ≠-1 という但し書きがなくても、
ｘ＝-1の場合、式の値は-1-1＝-2とする、としてよいのでしょうか？

回答No.7

bgm38489

>>だったら、なぜ但し書きの無い解答が正解となるのですか？
但し書きのない解答は、正解とは言えません。
この式を、「これでもか！」と言わんばかりに但し書きをいれて変形してみると、
与式＝（ｘ－１）（ｘ＋１）／（ｘ＋１）
Ｘ＋１≠０、すなわちｘ≠－１の時、（ｘ＋１）で割ると、　
　　　＝ｘ－１　（ただし、ｘ≠ー１）
>>これって、ｘ＝-1の場合
（ｘ＋１）で割った場合が（ｘ－１）なわけであって、（ｘ－１）にｘ＝－１を当てはめるのは、おかしい。前の回答の最後の行は、そういう意味です。

お礼

ありがとうございます。
了解しました。

回答No.6

ki-inage

お答えします。最大の間違いは
現方程式がy=x-1
になったとき前方程式と恒等式になるにはX=-1ではないというのが絶対条件です。
例えば同じように
（１）y=x^2/x　変形して(２)y=xとなります。(２）の場合x=0でもOKです。（１）の場合は分母が０になるのでだめです。この理由は（1）と(2）は恒等式でないということです。但しxが
0出ないという条件があれば（１）（２）は同じです。
数学では式を変形して答えがでますが最後の式が恒等的に現式と同じか現式に矛盾しないかが大切です。
数学では分母０は不能ということでありえません。
例えば
（１）x^2+y^2=4をxで微分する問題では
答えは(２）2x+2yy'=0　 故にy'=-x/yです。この場合yが０の場合を考えていないので半分と言われました。ですがこの場合元々ｙ=0はありえないのです。
何故なら大前提の（１）でもしy=0ならxは-2か2です。（２）に於いてy=0ならxは0とならざるをえません
これは矛盾します。y=0ならx=-2、２に矛盾します。だからyは0になりえない。
それを先生に話したら納得していただきました。

お礼

回答ありがとうございます。
式を変形する時の条件の違いがわかりました。

回答No.5

QCD2001

補足への回答です。

Ｘ＝－１を代入したときに与えられた式が　０／０　になり、分子と分母の中にある同じ形の項を約分することで　０／０　でなくなるような場合には、これを約分してかまいません。

「０で割ることができない」のはなぜでしょう？
「０で割ると無限に大きくなってしまうので、０では割れないのです。」

一見もっともらしく聞こえますが、これって矛盾していませんか？０で割ってみたんですよね。そしたら無限に大きくなる、という結果が得られたんですよね。
ほら！割れたじゃあないですか。割れたから無限に大きいという結果が得られたんでしょう？

「いや、無理やり割れば、という話だから、割れないんだよ。」

じゃあ、

（Ｘ＋１）／（Ｘ－１）

を無理やり約分してみて下さい。無理やりだろうがなんだろうが、約分はできませんよね。でも０で割ということは、無理やりやればできちゃうわけです。ただし、限りなく大きくなるので、いくつなのかわからなくなる、と言うだけです。
この分数を約分「できない。」
というのと
ある数を０でわることは「できない。」
というときとでは、同じ「できない。」でも違いますよね。
「同じできない」ではないわけです。

「０で割ると無限に大きくなってしまい、いくつなのかわからなくなることがあるから、これは別物として扱いましょう。」
と言うべきなのです。
Ｘ≠－１は自明な条件ではありません。

さて、無限大にも、より大きな無限大とより小さな無限大があり、０／０が必ずしも有限の値になるとは限りません。この先は極限や濃度とかいったややこしい話になり、わたしはこの分野でわかりやすく説明をするだけの知識を持ち合わせていませんので、この先の議論は数学の専門家に譲ります。

お礼

回答ありがとうございます。
詳細な解説、ためになります。

回答No.4

bgm38489

簡単に言えば、方程式x^2/x=0が与えられた時、x=0が解となり得るか、ですね。分母にxが来ているってことは、ｘ≠0であるため、矛盾。したがって、解は存在しない。
あなたの式は、x+1で割る時点で、x≠-1という条件をつけねばならない。だから、割った結果にx=-1の時などと検討するのは、矛盾、というより論外のこと。
「x≠-1であるときx-1であるから、x=-1のときx=-2」？？？

お礼

回答ありがとうございます。

式の変形自体がまちがっているのでしょうか？
だったら、なぜ但し書きの無い解答が正解となるのですか？
そこが疑問点です。

回答No.2

DJ-Potato

補足への回答です。

与式の段階でx≠-1が自明であるので、簡単にした時に明記すべきかは微妙ですね。
もっと複雑な問題で、与式では定義されるけど簡単にした式では定義されないxの値がある場合は、場合分けして記載しないとバツになるはずです。

いや、最後のx-1自体にはx=-1の定義が成り立つので、厳密には書くべきですね。
さらにグラフ描けって問題では、ちゃんとx=-1の所に白丸描かなきゃいけないですし。

回答No.1

DJ-Potato

最初に分母に(x+1)がある段階で、x≠-1という条件があります。明記されずとも自明です。数学のルールです。
あと、(x+1)/(x+1)=1として消していますが、x=-1の時に(x+1)/(x+1)を消せるかどうか、慎重に考えてみてください。

お礼

回答ありがとうございます。

僕が書いた１行目の式(変形）は間違っているとうことでしょうか？

実際の問題で、『（ｘ＾2-1）／（ｘ+1）を簡単にせよ』
というのがありますが、
解答は、ｘ-1 となっています。

だとすれば、ｘ-1（ただし ｘ≠-1）と
しないと、正解になりませんよね。

しかし、そのような解答は見たことないし、実際の試験でも、書かなくて○でした。
暗黙の了解で書かなくてもいいことになっているのでしょうか？

そこが疑問点であります。