４次式の因数分解

質問

４次式の因数分解の解法には２通りあると習いました。

(1)x^4+x^2+1の場合
　平方の差の公式を利用する方法

(2)x^4-9x^2+20の場合
　x^2=Xとおき、Xの２次式として因数分解する方法

(1)と(2)の使い分けがイマイチというか…
(2)の置き換える方法のほうがしっくりきます。
(1)の方は普通に解いていたら気づけません。
(2)の方法では無理だと悟り、やっとできるというか。

(2)の方法は今までの形に似せる目的が明確に伝わってくるのですが、やっぱり(1)は不思議…
効率よく思えません。
かといって(2)では無理だし…
でもイマイチ(1)の方法が納得いかないのです。
納得のいく解説をお願いします！

回答よろしくお願い致します。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

因数分解というのは持ち駒（知ってる方法）を全部使ってどれかがうまくいったらOKという性格が多分にあります。持ち駒の多い人がいい点を取るでしょう。持ち駒は結局経験です。

(2)x^4-9x^2+20

これは初心者でも因数分解が見えるはずです。

X=x^2という置き換えもいいですがx^2のまま見えなければ入試はだめでしょう。

足して９、かけて20、ああ、4と5かということで

x^4-9x^2+20=(x^2-4)(x^2-5)=(x-2)(x+2)(x-√5)(x+√5)

ここまで一気に行くようにしてください。

(1)x^4+x^2+1

これは２乗の世界を見慣れていると緊張感が走ります。つまりx^2+x+1は実数の範囲で因数分解できないというのが身についていないといけません。
しかし話は４乗の世界、そこに活路があるこすればある、なければアウト。

何を言っているかというと

x^2+x+1=(x+1)^2-x=(x+1-√x)(x+1+√x)　　　　(1)

とはやらないのが原則です。これはxが負の場合、虚数の世界に入るからです。

だけど４乗の世界では

x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2

ここまで来ると鉛筆が止まらないでしょう

=(x^2+1-x)(x^2+1+x)=(x^2-x+1)(x^2+x+1)

このさき（(1)のような変形）はしないというのは同様です。

しかし実は試験に出るのはしょせん作られた問題、解の明らかなものだけです。

x^6+x^3+1はどうでしょうか。

4乗の場合と同様に

x^6+x^3+1=(x^3+1)^2-x^3

はたと詰まります。

これはこのままでは試験に出ないでしょう。

ではx^6+x^4+x^2+1はどうでしょうか

x^6+x^4+x^2+1=x^4(x^2+1)+x^2+1=(x^4+1)(x^2+1)

これは実数の範囲ではこれで完。

持ち駒（定石）を知っていることと、柔軟性も大事です。

回答No.2

info22_

(1)
見分け方
[xの４乗の係数と定数項が共に２乗の形である場合]
xの２乗の係数の正負に注意して、平方の差の式をつくる。

x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)
x^4-3x^2+1=(x^2-1)^2-x^2=(x^2+x-1)(x^2-x-1)
4x^4+11x^2+9=(2x^2+3)^2-x^2=(2x^2+x+3)(2x^2-x+3)
4x^4-16x^2+9=(2x^2-3)^2-4x^2=(2x^2+2x-3)(2x^2-2x-3)

(2)
見分け方
[xの４乗の係数と定数項の一方、または両方が２乗の形でない場合]
この場合はX(=x^2)の２次方程式の解の公式や
X(=x^2)でのたすき掛け法が使える。
たすき掛け法の変形として(1)と類似の[平方差の公式]も利用できる。
(xの４乗の係数と２乗の係数で平方を完成させ定数項に負の平方が作れる場合)
x^4-2x^2-3=(x^2-1)^2-4=(x^2-1+2)(x^2-1-2)
=(x^2+1)(x^2-3)
x^4-6x^2+8=(x^2-3)^2-1=(x^2-3+1)(x^2-3-1)
=(x^2-2)(x^2-4)=(x^2-2)(x+2)(x-2)

慣れと練習問題を数こなせば、パターンがわかってくるでしょう。