今日２つ目です。。。

質問

ｘ＾2＋ｘｙ＋ａｙ＾2－ｘ＋７ｙ－２がｘ，ｙについて２つの１次式の積になるようにａの値を定めて、因数分解せよ。

こんな長い式で因数分解なんて・・・。
こういう時ってどんな風に考えていけばよいのでしょう？
教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

pancho · ベストアンサー

x^2の係数が１なので（＃２の方が与えている式の様に）、通常、因数分解する時は
与式 = (x+by+c)(x+dy+e)
という形にします。
この式を展開すると、
与式 = x^2 + (b+d)xy + bdy^2 + (c+e)x + (be+cd)y + ce
になります。

各項の係数に着目すると、
b+d = 1 (1)
bd = a (2)
c + e = -1 (3)
be + cd = 7 (4)
ce = -2 (5)

(3)と(5)からcとeの値は、1と-2になることが解ります。どちらをどちらに決めても良いのでc=1 e=-2と決めると、(4)の式は簡単になり、
-2e + d = 7 (6)

あとは、(1)と(6)からeとdの値を求め、(2)に代入すればaが（一意に）求まります。
基本に忠実に計算すればよいだけですよ。

＃１の方は、何か条件を見逃している様です。

以上。

お礼

回答ありがとうございます！
１つ利口になりました。すごいびっくり！
こんなやり方があったなんて・・。
これが使えるようになりたいな。
基本なんですね。どこで教わったんだろう、私。。
本当にありがとうございました。

回答No.5

hinebot

＃３の方のやり方でOKですね。
このまま解けば、a=-6 となり
因数分解の結果は、(x-2y+1)(x+3y-2) となると思います。（かっこが前後してもOKです）

>＃１の方は、何か条件を見逃している様です。

そうですね。#1の方の誤りについて補足します。

>足してy-1、かけてay^2+7y-2になる組を見つけたいですね。
ここで言っている「足してy-1」という条件を見落とされています。

(1)ay^2+7y-2=(αy-2)(βy+1)　としたとき
ｙの係数から、α-2β=7 ----(i)
足してy-1 になることから
(αy-2)+(βy+1) = (α+β)y-1 = y-1
すなわち、α＋β=１ ----(ii)
(i)と(ii)の連立を解いて　α=3, β=-2
よって a=3*(-2) = -6
となります。

お礼

アドバイスありがとうございます！
計算ってホント、いろいろなやり方があるんですね。
１つでも見落とすともう全然違った答えになっちゃうし・・。
私も気を付けます。
ありがとうございました！！

回答No.4

adinat

すいません、1です。

3の方がおっしゃった通り条件をひとつすっぽかしていました。自分で足してy-1になるといいながら...やはり全部文字で置いて一気に連立方程式を解いていくやり方の方が無難だったかも知れません。ほとんど重複するのですが、
(αy-2)+(βy+1)=(α+β)y-1
なので、これがy-1になるためにα+β=1という条件も必要でした。前述のα-2β=7と合わせて、α=3、β=-2となってa=-6じゃないとダメですね。これで無事
(x+3y-2)(x-2y+1)
と因数分解できるはずです。また間違っているかも知れないので確認してみてください。

ひとつだけ回答の指針を言っておくと、xについてもyについても2次式になっていますから、どちらか好きな文字についての2次式だと思ってまず因数分解を試みます。ちなみにもし次数の低い文字があれば、それに着目すると楽に解けます。1文字着目といいます。今回はy^2の係数にaがついていてやりにくいのでxに着目するわけです。そこで、
x^2+(y-1)x+ay^2+7y-2
を得ます。x以外の文字は定数だと思うわけです。だからこのようにxの2次の項、1次の項、(xに関する)定数項というふうにわけて整理します。普通の因数分解の公式
x^2+(α+β)x+αβ=(x+α)(x+β)
を思い出すと、足してy-1、かけてay^2+7y-2になる二組を求めればよいことがわかります。いわゆるたすきがけの問題ですが、面倒に思われるのでしたら、2番や3番さんのように一気に方程式を立てて解くのが分かりやすいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
私の解答を確認しました。１のときとと合わせてその通りになってました。
ただその解答を見ても私にはちんぷんかんぷんだったので、ここで教えてもらったんです。
解答の途中の計算はこうなってたのかぁと理解がいきました。

回答No.2

keyguy

なんだかすごく難しいですね。：

機械的にやりたかったら
(x+by+c)(x+dy+e)
の分解式と問題の式のx^my^n係数を等しいとしたb,c,d,eに関する連立方程式を解けばよい。

お礼

アドバイスありがとうございます。
そんな公式みたいなのがあったとは・・！
全く知りませんでした。
参考にします。

回答No.1

adinat

とりあえずこのままではみにくいから
x^2+x(y-1)+ay^2+7y-2
と整理します。それでxについての二次式と思う。因数分解するためには、
足してy-1、かけてay^2+7y-2になる組を見つけたいですね。そこで定数項に着目するとαy-2、βy+1なる組が適するのがわかるでしょう。あとはα-2β=7となるようにαとβを適当に決めましょう。例えばα=9,β=1とすればa=αβ=9となって、
(x+9y-2)(x+y+1)
と因数分解できます。なおαとβの選び方には任意性があるので、aはただひと通りには決まりません。

お礼

回答ありがとうございます。
なんだかすごく難しいですね。。
因数分解しやすいように２行目の式が出てくるんでしょうけど、私だと、ｘ＾2の部分からｘで括っちゃいます。

この問題、解答がさまざまになるってコトなんですよね？
計算って、、、、やっぱり難しいなぁ。。