ベクトルの問題です。

質問

どちらかわかる方でも結構です。散々考えたんですが、だめでした。解答はわかるので解法を教えてください。宜しくお願いします。

（１）２つのベクトルｘ、ｙが、２ｘーｙ＝（０，４）、２|x|=|y|、ｘ・ｙ＝６を満たすとき、ｘ、ｙを求めよ。

解答
ｘ＝（２，１）　ｙ＝（４，ー２）；
ｘ＝（ー２，１）　ｙ＝（ー４、ー２）

（２）次の条件を満たす２つのベクトルａ、ｂのなす角θを求めよ。

|a|=4, |2a-b|=7, (a+b)(b-3a)=-43

文字にはベクトルの→が付いています。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

handmishさん、こんにちは。

＞（１）２つのベクトルｘ、ｙが、２ｘーｙ＝（０，４）、２|x|=|y|、ｘ・ｙ＝６を満たすとき、ｘ、ｙを求めよ。

２つのベクトルは、それぞれx成分とy成分があるので
x=(x1,x2)
y=(y1,y2)などとしてみてはどうでしょう。
これだと、x成分とy成分が紛らわしいということなら
x=(a,b)
y=(c,d)としたほうがよいかも。
それで、３つの条件をそれぞれ、a,b,c,dで表してみたらいいと思います。

＞２ｘーｙ＝（０，４）

2x=(2a,2b)ですから
2x-y=(2a,2b)-(c,d)=(2a-c,2b-d)=(0,4)だから
2a-c=0ここから、c=2a・・・(1)
2b-d=4・・・(2)

＞２|x|=|y|

ここから、4|x|^2=|y|^2
4|x|^2=4(a^2+b^2)
|y|^2=c^2+d^2なので
4a^2+4b^2=c^2+d^2・・・(3)

＞ｘ・ｙ＝６

x=(a,b),y=(c,d)なので、
x・y=ac+bd=6・・・(4)

となって、未知変数が４つ、式が４つなので、解けますね。
ヒントを言うと、(1)(2)から、cとdをaとbで表して
それを(3)(4)に代入すればいいでしょう。
(3)からは、直ちにbが求まります。一度やってみてくださいね。

＞（２）次の条件を満たす２つのベクトルａ、ｂのなす角θを求めよ。

|a|=4, |2a-b|=7, (a+b)(b-3a)=-43

ベクトルa,bのなす角度をθとすると

a・b=|a||b|cosθですね。
|a|=4は分かっています。

(a+b)・(b-3a)=a・b-3|a|^2+|b|^2-3a・b
=-2a・b-48+|b|^2=-43
なので、
2a・b=|b|^2-5
2|a||b|cosθ=|b|^2-5
cosθ=(|b|^2-5)/8|b|

|2a-b|=7より
|2a-b|^2=4|a|^2-4a・b+|b|^2=16-4a・b+|b|^2=49
4a・b=|b|^2+15
4|a||b|cosθ=|b|^2+15
cosθ=(|b|^2+15)/16|b|

これらより
cosθ=(|b|^2-5)/8|b|=(|b|^2+15)/16|b|
2|b|^2-10=|b|^2+15
|b|^2=25
|b|=5(|b|>0)

ゆえに、cosθ=(|b|^2-5)/8|b|に代入すれば
cosθ=20/40=1/2
cosθ=1/2となるようなθ＝Π/3・・・（答）

となると思います。
(2)は計算がややこしいですね。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください。

お礼

回答ありがとうございます。とても参考になりました。そんな方法は知りませんでした。専門家の意見が聞けてよかったです。またよろしくお願いします。

回答No.2

kentahaha

1番はまず、ベクトルx、yを成分で書くことにより、1番の式から2つ式がでます.2番目の式はまず両辺を2乗して、式の変形をやります.このとき、左辺の2も2乗することを忘れないように.これから、1つの式がでます.2次になりますから、気をつけてください.最後の内積の式から1つ式がでて、合計4個の式が出ます.変数が成分で書くことから4個出てますので、式の数、変数の数が同じですから、連立方程式でとくことができます.解く時は次数が違う式があるので気をつけてください.
2番目の問題は
最後の式を計算することにより絶対値Ａの２乗と絶対値Bの2乗とAとBの内積の式にします.2番目の式は両辺を2条することにより同じようにAの2乗、Bの2乗、AとＢの内積の式にすれば連立で解けます.

お礼

回答ありがとうございます。とても参考になりました。

回答No.1

warasubo

「解法」ということなので、模範答案といえる書き方ではありません。、解き方です。問題（１）の方です。２次元ベクトルが仮定されていると解釈します。そこでｘ、ｙを成分表示でそれぞれ、x=(a,b),y=(c,d)とおきます。1つ目の条件により、
2a-c=0→c=2a (1)
2b-d=4→d=2b-4　(2)
２つ目の条件を両辺２乗して
4(a^2+b^2)=c^2+d^2　(3)
３つ目の条件より
ac+bd=6　(4)
以上のようになり、未知数４つに対して、式が４つになるので連立して解くと答えが得られます。
(3)の右辺に(1)と(2)を代入すると、
c^2+d^2=4a^2+(2b-4)^2=4a^2+4b^2+16-16b
となり、左辺と比較して整理すると
16-16b=0　→　b=1　(5)
これを(2)に代入すると　d=-2　(6)
(1)、(5)、(6)を(4)に代入すると
a×2a+1×(-2)=6　→　a^2=4 → a=±2
これを(1)に代入すれば
c=±4 (符号同順）。
よって、
x=(±2,1),y=(±4,-2)　（符号同順）　←答え
（「＾２」は２乗の意味で用いています）
－－－－－－
問題（２）の３つ目の条件は内積を意味しているんでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。とても参考になりました。ばっちりできました。またよろしくお願いします。