等高線 接ベクトル

質問

関数f(x, y) = x＾3 － y＾3 + x＾2*y + x*y＾2 に関して，

( )
－1
↑2行1列

は(1,－1) における等高線の接ベクトルとなっている．
この問題の解き方を教えてください。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

等高線はf(x,y)=constです。
この式をxで微分すると，x,y,dy/dxの式が得られます。
(1,－1)における等高線の接ベクトルを考えるのだから，上記で得られた式にx=1,y=-1を代入して得られるdy/dxが求める接ベクトルの傾きになっています。dy=-1の時のdxはすぐに求まるでしょう。

回答No.1

info22

課題としてこの問題が出される以上、習っているはず、まず自身で授業内容や教科書を復習することが大切。以下に略解を書いておきますので、ちゃんと以下を自分で理解できるまで復習すること。
なぜ式がそうなるかは自分で調べて考えてください。

f(x, y) = x＾3 － y＾3 + x＾2*y + x*y＾2

全微分をとって
df=fxdx+fydy
=(3x^2+2xy+y^2)dx+(-3y^2+x^2+2xy)dy
fx(1,-1)=3-2+1=2, fy(1,-1)=-3+1-2=-4
(等高線の高さ)f(1,-1)=1+1-1+1=2

df=2dx-4dy=0

接線：2(x-1)-4(y+1)=0
　(x-1)/2=(y+1)/1=-t（とおく。）
接線の媒介変数表示
(x,y)=(1,-1)-t(2,1)=(1,-1)+t(-2,-1)
接ベクトル(-2,-1)^t
( )^t　は転置

求める()内の要素は何か分かりますね。