至急お願いします！

質問

至急お願いします。半径1の円Xに内接する正三角形ABCがある。 (1)円Xの弧BAC上に点Pをとり、△PBCの内部の点Qを考える。
(i)Qが△PBCの外心であるとする。Qが△PBCの内部の点であることから、Pは弧BAC上の限られた部分にあり、その部分の弧の長さはア/イπである。
(ii)Qが△PBCの内心であるとする。∠BQC＝ウエオ°であり、Pが孤BAC上を動くとき、Qが動く分の長さはカ/キπである。
(iii)Qがある△PBCの重心であるとする。Pが弧BAC上を動くとき、Qが動く部分の長さはク/ケπである。
(2)線分BCを1:3に内分する点をDとし、直線ADと円Xの交点のうち、Aでない点をEとする。このとき BC＝√コ、AD＝√サシ/ス であり DE＝セ√ソタ/チツ である。
この問題が分かりません。よろしくお願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

i)
Qが△PBCの辺上にくるのは直角三角形になるとき、すなわち「BPが直径になるとき」と「CPが直径になるとき」。
それぞれの場合のPの位置を考えると、点Pは中心角120°の円弧をえがくのでその長さは (2/3)π…（答）

ii)
三角形BCPの内角の和を考えて、∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=120°
BQ、CQは内角の二等分線なので ∠QBC+∠QCB=120°÷2=60°
よって ∠BQC=180°-(∠QBC+∠QCB)=120°…（答）
∠BQCの大きさが一定なので点Qは2点B,Cを通る円周上にあり、角の大きさよりその円Yは「直線BCに関して円Xと線対称」とわかる。
よってQがえがくのは「半径1円Yの周上のうち、弧BC（短い方）すなわち中心角120°の部分なのでその長さは (2/3)π…（答）

iii)
辺BCの中点をMとすると、重心Qは「MPを1:2に内分する点」。
Pがえがくのは「半径1、中心角240°の円弧」でありその長さは (4/3)π なので
Qがえがく部分の長さはその3分の1にあたる (4/9)π…（答）

(2)
三角形ABCに正弦定理を適用して BC / sin60° = 2×1 よって BC=√3 …（答）
三角形ABDに余弦定理を適用して AD^2 = AB^2+BD^2-2×AB×BD×cos60°=13/16 よって AD=√13 / 4 …（答）
方べきの定理よりDA×DE=DB×DC よって DE=3√13 / 52…（答）