中学数学(幾何)の質問です。至急お願いします。

質問

中学数学(幾何)の質問です。困っています。
どなたかわかる方、ご回答お願いします。
よろしくお願いします。

図で、2円O、O' は点Aで内接している。また、円Oの弦BCが点Dで円O’ に接している。
このとき、直線ADは∠BACを2等分することを示せ。

回答No.3

ferien

＞図で、2円O、O' は点Aで内接している。また、円Oの弦BCが点Dで円O’ に接している。
＞このとき、直線ADは∠BACを2等分することを示せ。

ABと円O'の交点をE，ACと円O'の交点をFとする。

△O'EFと△OBCとで、
円の半径だから、O'E＝O'F，OB＝OCより、
O'E：OB＝O'F：OC
円周角∠BAC（∠EAF）と同じ弧の上の中心角だから、
∠EO'F＝∠BOC＝２∠BAC
よって、２辺の比とその挟む角が等しいから、
△O'EF∽△OBC　
これから、∠O'FE＝∠OCB　……ア
△O'AFと△OACとで、同様に
O'A：OA＝O'F：OC
∠AO'F＝∠AOC＝２∠ABCで、
２辺の比とその挟む角が等しいから、
△O'AF∽△OAC
これから、∠AFO'＝∠ACO　……イ
ア，イより、
∠AFE＝∠AFO'＋∠O'FE＝∠ACO＋∠OCB＝∠ACB
よって、同位角が等しいから、
EF//BC　……(1)

接弦定理より、
∠EAD＝∠BDE　……(2)
弧FDの上の円周角だから、
∠FAD＝∠FED　……(3)
(1)より、EF//BCから、錯角が等しいから、
∠FED＝∠BDE　……(4)
(2)(3)(4)より、
∠EAD＝∠FAD　だから、∠BAD＝∠CAD
よって、直線ADは∠BACを二等分する。

回答No.2

nag0720

接弦定理を使います。

円O'と線分ABとの交点をEとする。
2円O、O' の点Aでの接線を描いて、右上の適当な点をFとする。

接弦定理より、
∠BAD＝∠BDE
∠AED＝∠FAD
∠ABC＝∠FAC

∠BAD＝∠BDE＝∠AED－∠ABC＝∠FAD－∠FAC＝∠CAD

回答No.1

muneneko

少々煩雑になりますが…。
もっといい証明があるかもしれません。
そして下手くそな証明文です…

△O'DAは二等辺三角形なので　∠O'DA =∠O'AD　…(1)
弦BCは円O'の接線なので∠O'DC = 90°…(2)
(1)(2)より　∠ADC = 90°-∠O'DA = 90°- ∠O'AD　…(3)

△OABは二等辺三角形なので　∠OAB = ∠OBA　…(4)
(4)と△OABの内角の和は180°であることより ∠AOB = 180°-2∠OAB　…(5)
(5)と円周角の定理より ∠ACB = 90°-∠OAB　…(6)

(3)(6)と△ADCの内角の和は180°であることより ∠DAC = ∠OAB + ∠O'AD = ∠DAB

よって線分ADは∠BACを二等分する。