数学の、円の問題です。

質問

下の図で、４点A、B、C、Dは円Oの円周上の点であり、∠BAC＝４５°、∠CAD＝３０°、弧AD＝弧BCである。ABの長さが６のとき、次の問いに答えなさい。

(1)　ACの長さを求めなさい。

(2) 四角形ABCDの面積を求めなさい。

（解説もよろしくお願いします）

回答No.2

ali_yuki2 · ベストアンサー

補助線ＢＣ、ＣＤ、ＢＤと引いておく
四角形と対角線が出来ます対角線の交点をＯとしておきます

弧AD＝弧BCなので　線AD＝線BC
四角形は等脚台形で∠CAB=45°で、∠ABD＝45°なので　∠AOB＝90°

⊿ABOは　45-45-90の直角二等辺三角形です　よって、辺AOの長さは6/√2

⊿ADOは　30-60-90の直角三角形です　辺AOの長さは6/√2　なので辺DOは√6になります

辺OD＝辺OCなので辺AC＝6/√2+√6　　　　　　…………（１）

⊿CDOは　45-45-90の直角二等辺三角形です、
辺DOが√6なので、辺CDの長さは2√3、
辺CDを底辺とした時の⊿CDOの高さは　√3

辺ABを底辺とした時の⊿ABOの高さは　３

よって台形ABCDの面積は　（(6+2√3)×(3+√3)）/2　　　　　…………（２）

計算はお任せします

お礼

わかりました、どうも有り難うございました。

回答No.4

ali_yuki2

No2です
No2の文章中の２行目で　勝手に交点をＯとしていましたが、

すでに設問中で円の中心をＯと指定してありました

No2の文章中では中心点Ｏは使っていません。
交点をＥとして、自分の文章中のＯはＥと読み変えてください

紛らわしくで申し訳ありません

回答No.3

yyssaa

取り敢えず(1)だけです。
(1)　ACの長さを求めなさい。
＞OとA、B、C、Dとをそれぞれ結ぶ。
中心角は円周角の2倍だから∠COD=2*∠CAD=60°、∠BOC=2*∠BAC=90°
弧AD＝弧BCだから∠AOD=90°。∠AOB=360°-∠AOD-∠COD-∠BOC=120°
だから△OABは頂角が120°で等辺が円Oの半径の二等辺三角形であり、
∠OAB=∠OBA=30°だからOからABに下ろした垂線の足をEとすると、
△OAE≡△OBEで共に1辺の長さが円Oの半径に等しい正三角形を二等分
したものになる。従って円Oの半径をrとすると、OE=OA/2=r/2、
AE=AB/2=6/2=3だから三平方の定理により、(r/2)^2+3^2=r^2。
これを計算してr=2√3、すなわち円Oの半径は2√3である。
次にBDを結ぶと、弧AD＝弧BCだから∠ABD=∠BAC=45°だから
ACとBDの交点をFとすると△ABFはAF=BF、∠AFB=90°の直角
二等辺三角形になり三平方の定理により、AF^2+BF^2=AB^2から
AF=BF=3√2。
△AODは半径rを2辺とする直角二等辺三角形だから∠OAD=∠ODA=45°で
OからABに下ろした垂線の足をGとすろと、△ODG≡△OAG、DG=AG=OG
となるので、三平方の定理により、DG^2+OG^2=OD^2より2*DG^2=r^2、
DG=r/√2=r=2√3/√2=√6、AD=2*DG=2√6。△AFDに三平方の定理を
適用して、DF^2=AD^2-AF^2=24-18=6、DF=√6。
△ABD≡△ABC、AC=BDだからAC=BD、DF=CF=√6
よってAC=AF+CF=3√2+√6・・・答

お礼

どうも有り難うございました。

回答No.1

shintaro-2

まずBDに補助線を引く
そうすると円周角の定理から角度がわかる。

で、内接四角形は等脚台形で、対角線が直交することが分かる。

ここから地道にS=ｂｃsinA・１/2
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/menseki/menseki.htm
を使って連立方程式を立てて解くと
ACと対角線の長さを求めることができます。

お礼

どうも有り難うございました。

補足

すみません、中学生用の問題ですので、三角比を使わずに求める方法で考えたいのですが。