センター物理 波の干渉

質問

図一様な厚さdで屈折率nの薄い透明な膜で覆われた幅Lのガラス板が空気中に置かれていて、空気中から波長λ,振動数fの単色光を真上から入射させる、
このとき膜の上面で反射する光と膜の下面で反射する光の干渉について考えよう、ただし、空気の屈折率は1とする
膜の厚さdを少しずつ増加させると反射光の強度が変化した、d=d[1]のときに反射光の強度が極大になり、次に極大になるときはd=d[2]であった、d[2]-d[1]は膜中での単色光の波長λ'の何倍か、

解説 膜の厚さがdのとき、膜の上と下の面が反射した光の経路差は2dである、反射光の強度が極大のとき、反射光は干渉により強め合っている、膜の厚さを少しずつ増加させて再び反射光の強度が極大になるとき、経路差の変化はλ'に等しいから 2d[2]-2d[1]=λ' d[2]-d[1]=λ'/2となる
よって1/2倍となる
とあったのですが反射光の強度が極大のとき、反射光は干渉により強め合っている、膜の厚さを少しずつ増加させて再び反射光の強度が極大になるとき、経路差の変化はλ'に等しいから
の部分なのですが、反射光の強度が極大の時、反射光は干渉により強め合っていると何で経路差の変化がλ'に等しくなるのか分かりません

回答No.23

gohtraw

＞経路差の変化がλ'に等しいというのは何で分かるんですか？
同じことを何度繰り返すのかな？今までのやり取りをきちんと理解
しろとあれほど・・・。

お礼

御返答有難うございます

補足

読み返したのですが、分からないのです、是非宜しくお願いします

回答No.22

中村 拓男（@tknakamuri）

>3dｇrapes

3D版じゃなくて2D版がシンプルです。

お礼

御返答有難うございます

補足

どっちにしても使い方が分かりません、2D版は数学で使ったことありますが、分かりませんでした

回答No.21

gohtraw

そうそう、反射に伴う位相のずれについてちょっと補足しておく。
空気と透明膜の界面で反射した光は元の光と比べて多分位相が
ずれているだろうが、
透明膜とガラスの界面で反射した光は元の光と比べて位相がずれて
いるとは限らないぞ。透明膜とガラスの屈折率の大小については何も
情報がないのだから。

お礼

御返答有難うございます

補足

>透明膜とガラスの屈折率の大小については何も情報がないのだから。
そうですね、ということはこの問題を解く時にはそのことは関係なく解くことが出きるという事ですよね

解説の膜の厚さを少しずつ増加させて再び反射光の強度が極大になるとき、経路差の変化はλ'に等しいとありますが経路差の変化がλ'に等しいというのは何で分かるんですか？

回答No.20

中村 拓男（@tknakamuri）

＞図にできないんですが

いや、sin波をいくつか書いてみるだけですよ。

時間を止めて、横軸がxのグラフがよいですね。

ωt=0 と ωt=0.1 を比べるとか
ωt=0　で d = 0 と d = λ/2 を比べるとか。

k や ω は 1 でOK.　x=0～10 くらいの範囲で描くのがよいと思います。

数式のグラフを瞬時に表示してくれるソフトはいろいろありますので
使ってみたら？　

スマホ向けには腐るほどあります。

パソコンなら gnuplot や maxima が好みだけど
初心者は grape とかがよろしいかも。

お礼

御返答有難うございます

補足

3dｇrapesっていうのはありますが使い方が良く分かりません

回答No.19

中村 拓男（@tknakamuri）

＞反射光の強度が極大の時、反射光は干渉により強め合っていると何で経路差の変化がλ'に
＞等しくなるのか分かりません

とりあえず屈折率は 1 にして忘れると、経路差 =nλ(nは整数)　とすれば

sin(ωt - kx + θ0) + sin(ωt - k(x+nλ) + θ0)
=sin(ωt - kx + θ0) + sin(ωt - kx + 2πn + θ0)
= 2sin(ωt - kx + θ0)

で振幅が倍になります。

経路差 =(n+1/2)λ(nは整数)　とすれば

sin(ωt - kx + θ0) + sin(ωt - k(x+(n+1/2)λ) + θ0)
=sin(ωt - kx + θ0) + sin(ωt - kx + 2π(n+1/2) + θ0)
=sin(ωt - kx + θ0) - sin(ωt - kx + θ0) = 0

つまり、経路差λ/2 毎に振幅は2倍とゼロを行き来します。
もちろん実際には2つの波の振幅に差があるので、完全にはゼロにはなりませんが・・・

上の式を図にすれば理解度がかなり上がりますよ。

お礼

御返答有難うございます

補足

図にできないんですが、宜しければ図のほうも宜しくお願いします

回答No.18

中村 拓男（@tknakamuri）

干渉の基礎

一次元の進行する波を考え、波として伝わる物理量を v とすると
v は時間と位置の関数で v(t, x)　（xは光路が曲がっている場合は光路長でもよい）

で

v(t, x) = F(t - kx) (Fは任意の関数)

が一般的な波な式ですが、正弦波の伝搬する振動では

v(t, x) = sin(ωt - kx + θ0) (θ0は初期位相)

ωは時間に対する角周波数、k は空間に対する角周波数(普通は波数と呼びます)。

ω=2πf (fは時間に対する周波数)
k = 2π/λ (λ：波長)

ω/k= fλ = V (Vは波の速度)

式の ωt - kx + θ0 部分が波の「位相」ですが、

時間的な部分と空間的な部分の双方が含まれています。

ここから「波の速度」がどのような意味なのかをよく考えてみてください。

この式から、ある一瞬において、波が空間的にどのように
振動しているか、時刻が変化すると波がどのように変化するかを
正確に把握することができます。

後は光路長が少し異なる2つの波を表す式

v(t, x) = sin(ωt - kx + θ0) + sin(ωt - k(x+d) + θ0) (d: 光路長の差)

を考察すれば、干渉なんて簡単なんですが、

これでいかがですか？

これの内容の一つ一つの解説は致しません。教科書に載っているはずです。

参考URL：

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%90%86%E7%A7%91_%E7%89%A9%E7%90%86I_%E6%B3%A2

お礼

御返答有難うございます

補足

この問題の場合経路差の変化はλ'に等しいから
の部分なのですが、反射光の強度が極大の時、反射光は干渉により強め合っていると何で経路差の変化がλ'に等しくなるのか分かりません

回答No.17

中村 拓男（@tknakamuri）

〉2d/λ回転と×360°するのはどういう意味なんですか？

タイヤがぐるっと一回転は、角度に直すと
360度です。

回転数は角度に直すと

回転数x360度

です。

ラジアンなら

回転数×2π

波の位相の回転も同じです。
つまり波には回転角度(位相)が
あるということです。

お礼

御返答有難うございます

補足

一回転なら360°、2d/λ’　回転なら何°かってことですよね
1:360=2d/λ’:xよりx=2d/λ’×360°ということですね

回答No.16

中村 拓男（@tknakamuri）

もうひとつ。

膜の下端で反射する光は、膜の上端で反射する光よりも
2d だけ経路が多いので、位相回転量の差は　2d/λ’　回転
である(1回転＝360度)

これはどうでしょう？　ここまでくればもう、結論は自明だと思いますけど？

お礼

御返答有難うございます

補足

2d/λ’　回転するのはわかるんですが、これに360°を掛けているのが分かりません

回答No.15

中村 拓男（@tknakamuri）

＞1周するのにλ'掛かるので2d走ったら1:λ'=x:2dよりx=2d/λ'回転になります

光の位相回転も考え方は全く同じです。

半回転の奇数倍位相が違う光が合わされば弱めあいます。
半回転の偶数倍位相が違う光が合わされば強めあいます。

ここまではどうですか？

お礼

御返答有難うございます

補足

弱めあいと強めあいは分かりますが、回転の所が良く分かりません

回答No.14

中村 拓男（@tknakamuri）

＞2d/λ'x360度

ちょっと書き方がまずかったかも

(2d/λ') x 360度

という意味です。位相の単位は　度

お礼

御返答有難うございます

補足

2d/λ回転と×360°するのはどういう意味なんですか？