物理の質問

質問

物理の質問（難）

屈折率１.0の空気の中に、屈折率ｎ(n>1.0),厚さdの薄膜が置かれている。図のように、空気中から薄膜に波長λの光が入射角iで入射する場合を考える。薄膜の上面で屈折して薄膜内に入射し、下面で反射して観測者の目に届く光線(1)と
、薄膜内の上面で反射して観測者にとどく光線(2)の干渉を考える。これらの光線は、Ａ1,A2において同位相であったとする。

問題 n=1.5の屈折率で、異なる厚みをもつ薄膜に垂直に光が入射(i=0)する場合を考える。
入射する光の波長を4.0×10^2nmから7.0×10^2nmの間で変化させたとこと、反射波が強め合う条件を満たす波長が２個存在した。そのうち、長い方の波長は6.5×10^2nmであった。このとき,次の値をそれぞれ有効数字２桁で求めよ。
(1)強め合う条件を満たすもう１つの波長

解説
入射角i=0のとき,屈折角もr=0になり、反射光のつよめある条件は2nd=(m+1/2)λ(m=0,1,2,・・・・）・・・(3)
条件を満たす波長を短い方からλ1,λ2とおくと、問題文よりλ2=6.5×10^2nmである。また、λ1とλ2は(3)式右辺
の(m+1/2)が１ずれるので、λ1のとき(m+1/2+1),λ2のとき(m+1/2)とすると
2×1.5×d=(m+1+1/2)λ1,2×1.5×d=(m+1/2)λ2
上の２式より(m+3/2)λ1=(m+1/2)λ2
λ1=6.5×10^2nm×2m+1/2m+3
このλ1が、4.0<=6.5×10^2nm×2m+1/2m+3<=6.5×10^2
4.0<=6.5×2m+1/2m+3より,m>=1.1になりm=2・・・・・・以下省略

教えてほしいところ
まず、解説を熟読したんですが、いったい何をやろうとしているのかまったく式から方針から結果の流れが理解できません。
後、ｍ＝3でもいいじゃないかと思ったんですが、波長が３個以上存在すると言われました。
なぜ、３個存在するのかという点と解答を砕いて説明していただけませんか？？
国語が得意な方よろしくお願いします。

回答No.12

yokkun831

波長λ2=650nm の光が，干渉条件
2nd = (m + 1/2)λ
で
m = 2 において強めあうような薄膜の厚さ d2 のとき，
…　m = 3 において強めあうλ1 > 400nm
…　m = 4 において強めあうλ0 < 400nm

これが題意に適する場面設定です。

m = 3 において強めあうような薄膜の厚さ d3 のとき，
…　m = 4 において強めあうようなλ1 > 400nm，
…　m = 5 において強めあうようなλ0 > 400nm

この場合は強めあう波長が実験波長範囲の中に３つ存在し，題意に適さないということです。λ2における干渉条件で m を定めることは，薄膜の厚さ d を決めることにほかなりません。

回答No.11

yokkun831

>厚さを固定して考えるより厚さを変化させつつ考えたほうが理解できそうです。

2nd = (m + 1/2)λ2

λ2が固定されている時点で，λ2において強めあうmを定めるということは，厚さdをそれにともなって変えていることに他なりません。ここは，理解しやすさとかそういうことではなく，そもそもの論理展開がそうなっていることを理解しないと，この問題はわかったつもりのままで終わってしまいます。

補足

んー　よくわかりません。
もう少し　わかりやすく説明してください。

回答No.10

yokkun831

>m=2のときの厚さのとき650nmはm=2,m=3のときの厚さのとき650nmはm=3となるのはどうしてですか？？

そうなるように計算をしたからです。

2nd = (m + 1/2)λ2

となるように，dとmを設定したのでしたよね？

mをm+1ととりかえたとき，

2nd = (m + 3/2)λ1

λ1 < λ2　となり，m+2，m+3，…と増えていくにつれて強めあう波長が短くなっていきます。

回答No.9

yokkun831

実際計算してみましたのでご覧ください。

たとえば，λ(2，3)　はλ2=650nm　がm=2で強めあうような薄膜の厚さdを選んだときに，m=3で強めあう波長がどれだけになるかを示したものです。黄色で塗りつぶしたものが実験波長領域にかかるものです。

λ2がm=3で強めあうような薄膜の厚さdを選択すると，m=5で強めあう波長が実験の波長領域に引っかかって，強めあう波長は題意に反して３つになります。

通常の固定した干渉条件でm=2で強めあえばm=3でも強めあう…といった議論をしているのではないことに注意してください。この実験の場合，波長を変えているのですよ！　さらに薄膜の厚さも変えたらどうなるかを議論しているのです。題意に適する薄膜の厚さは542nmで，このとき
（１）　実験波長領域で強めあう波長が２つのみ
（２）　強めあう波長のうち大きい方が650nm
という２つの条件を満足するのです。

補足

もう少しで理解できそうです。
厚さを固定して考えるより厚さを変化させつつ考えたほうが理解できそうです。
１点だけ疑問なんですがm>=1.1であれば450nmから650nmの範囲の間に強め合う波長が２個以上存在するような薄膜の厚さになるということですよね。
m=2のときの厚さのとき650nmはm=2,m=3のときの厚さのとき650nmはm=3となるのはどうしてですか？？

回答No.8

yokkun831

>何故　必要なんですか？？？

おっしゃる通り，観測した波長領域で強めあう波長の最大値がλ2=650nm < 700nmなので，上限は題意に無関係です。不等式の右辺自体で <=650nm は含まれていますね？

λ0 < 400nm こそが２つ目の条件として必要なものです。これによって
1.1 < m < 2.7
の上限2.7が導出される（下限はλ1 > 400nmで導出された）ので，m=2でなければならないことがわかるのです。

補足

すいません。2つ目の条件として必要と言われてもやはり僕はいまいちよくわからないんです。
m>=1.1という条件は400nmより大きく、さらにλ２が650nmになる条件ですよね。
この条件下で最小のｍが２個という条件を満たすというのがいまいち理解できないんです。
m=3,4,5,6,7は何故　駄目なんですか？？？

回答No.7

yokkun831

補足の意味がよく理解できません。

2nd = (m + 1/2)λ

が強めあう条件。

n，dが決まっているときに，mの値によってλが決定されます。
つまり，強めあいが起こる波長はもともと複数あるのですよね？

整数 m=m'　のときに波長λ2の反射光が強めあうとして，
整数 m=m'+1　のときにλ2より短い波長λ1でまた強めあったわけです。
整数 m=m'+2　のときにさらに短い波長λ0で強めあうわけですが，λ0は指定した波長領域の外，すなわち400nmより小さかったというのが題意です。

補足

わかりにくくてすいません。
4.0<=6.5×10^2nm×2m+1/2m+3という不等式を解いたらm>=1.1となります。
λ2に650nmを代入してあげてるので<=650nmという条件をつける必要がないような気がするんですが、
何故　必要なんですか？？？

回答No.6

yokkun831

>mが大きくなるにつれて膜の大きさが大きくなるんですよね。

ともかく
2nd = (m + 1/2)λ
が成立すれば強めあうのですから，λを固定したときに上のことが成り立ちます。

何を固定して何を変えるのか…この点を考察の際のポイントとしてはっきりさせないと，混乱が生じます。問題の実験では，膜の厚さdと先に示した（１）（２）が固定されている条件です。解説では，λ=λ2のときのmがいくつになるかを（１）（２）の条件で求めようとしています。実験で用いる波長範囲を拡大すれば，強めあうλはいくつも生じることになります。400～700nmに限定することによって，（１）強めあうλは２つのみで，（２）そのうち大きい方λ2が650nmであった，といっているわけです。

したがって，波長範囲を限定せずにmが1ずつ増えた強めあいの条件を満たす波長がλ2，λ1，λ0…と並んでいるとして，
2nd = (m + 1/2)λ2　…(i)
2nd = (m + 3/2)λ1　…(ii)
2nd = (m + 5/2)λ0　…(iii)
…
が成立します。ところが実際は波長範囲が400～700nmに限定されており，（１）強めあうλは２つのみであるわけですから，
λ0 < 400nm < λ1　…(iv)
となる必要があります。上の式の中でd，λ0，λ1，mの４つが未知数ですが，mは最後の不等式(iv)と整数であるという条件によって決まることになります。あとは上式(i)～(iii)を連立方程式として解けば，d，λ0，λ1が導出されることになるでしょう。

(i)～(iii)より，
λ1 = λ2×(2m+1)/(2m+3)　…(v)
λ0 = λ2×(2m+1)/(2m+5)　…(vi)
(iv)に代入して，
(2m+1)/(2m+5) < 400/650 < (2m+1)/(2m+3)
∴ 1.1 < m < 2.7
∴　m = 2

これを(v)に代入すればλ1が求まります。これが質問された部分の流れです。
(vi)によってλ0を得，(i)からdを得ることになります。

補足

条件で絞っちゃえば済む話かもしれませんが、m=2の膜の厚さで強めあったんでだからm=3の場合でもその波長は成り立つという考え方が理解できません。
この部分の言及お願いします。

回答No.5

yokkun831

題意には実験条件を制限する結果が２つ指定されています。

（１）反射波が強めあう波長が4.0～7.0×10^2 nmの間に２個存在する。
（２）２個のうち波長の大きい方がλ2=6.5×10^2 nmである。

この２つの結果によって

2nd = (m + 1/2 )λ

のdを決めようというのが実験の目的なのでしょう。

650nmから波長の短い方へ３つめとなる，強めあう波長をλ0としますと
2nd = (m + 5/2)λ0
となります。すなわち，
λ0 = 4nd/(2m + 5)
したがって，実験波長範囲に「２個しか存在しない」条件は，λ0 < 400 nm　ということになります。

λ2 = 4nd/(2m + 1)　より

λ0 = λ2×(2m + 1)/(2m + 5) < 400nm

これをmについて解くと　m < 2.7 となり，λ2に対してm=2を選択すべきことがわかります。

補足

回答ありがとうございます。
少し分かってきました。ようするにmが大きくなるにつれて膜の大きさが大きくなるんですよね。
ｍ＝３の場合よりｍ＝２のほうが膜は大きいです。
そして、m=3の場合、強め合う波長はまず式に代入すれば１つ求まり、後、条件で与えられている650nmの波長があります。
ここまでは理解できました。
しかし、m=2の膜の厚さで強めあったんでだからm=3の場合でもその波長は成り立つという考え方が理解できません。アドバイスください。

回答No.4

yokkun831

老婆心ながら…

>λ1＜λ2でなければならないだけかと。

これは，導出された式

λ1=λ2×(2m+1)/(2m+3)

においてすでに考慮されています。したがって，m>=3が捨てられる要件は「条件を満たす波長が２個存在した。」という制限にあります。

なお，私の回答で「可視光線」の記述は間違ってはいませんが，問題に4.0～7.0×10^2 nmの範囲制限の記述がありますね。「可視光線」の記述は蛇足でした。＾＾；

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞ｍ＝２が正解なんですが、λ1＞ 4.0* 10^2 m=3でも満たしています。
問題文の「長い方の波長は6.5×10^2nmであった。」から、
λ1＜λ2でなければならないだけかと。