この3重積分のxyzの範囲指定の説明を教えて下さい

質問

∫∫∫V xydxdydz、
V={(x,y,z):x+y+z≦1,x≧0,y≧0,z≧0}
の問題です。

この計算を解く時、
0≦x≦1,0≦y≦1-x,0≦z≦1-x-yとして
∫(0→1)∫(0→1-x)∫(0→1-x-y)xydzdydx
として計算し、答えが1/120となりました。
Vを図形で表すと、
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node59.html
のサイトにある三角錐になります。
ここで、0≦x≦1,0≦y≦1-x,0≦z≦1-x-yとした理由を書かないといけないのですが、
説明の仕方が分かりません。
zについては、円錐を考えて
上端の境界はx+y+z=1→z=1-x-y
下端の境界はz=0
よってzのとる値は0≦z≦1-x-y
と説明すればよいと思うのですが、
x,yの範囲はどのように説明すればよいのでしょうか。
教えて下さい。
zの範囲の説明も、おかしければ教えて下さい

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>zについては、円錐を考えて
>>zの範囲の説明も、おかしければ教えて下さい
おかしい。「円錐を考えて」は何ですか？こんなの不要。書いたら減点される！

Vを満たす任意の座標(x,y,z)について
zの取り得る範囲は0≦z≦1-x-yなのでzの積分範囲は
[0→1-x-y]
>上端の境界はx+y+z=1→z=1-x-y
>下端の境界はz=0
>よってzのとる値は0≦z≦1-x-y
これは合ってる。
>と説明すればよいと思うのですが、
減点されるようなことは書かない！

>x,yの範囲はどのように説明すればよいのでしょうか。
>教えて下さい。
z=0のxy平面での(x,y)の範囲を考えればよい。
x≧0の下で
0≦1-x-y, y≧0
0≦y≦1-x
したがって yの積分範囲は[0→1-x]となります。

さらに
0≦y≦1-x,x≧0より
0≦1-x,x≧0
0≦x≦1
したがってxの積分範囲は[0→1]となります。
以上から
被積分関数xyを
まずzの積分範囲[0→1-x-y]で積分し
　∫[0→1-x-y] xydz=[xy][0→1-x-y]=xy[z][0→1-x-y]=xy(1-x-y)=x(1-x)y-xy^2
次にyの積分範囲[0→1-x]で積分します。
　∫[0→1-x]{∫[0→1-x-y] xydz}dy=∫[0→1-x] (x(1-x)y-xy^2)dy
　=[(x(1-x)/2)y^2-(x/3)y^3][0→1-x]=(x/2)(1-x)^3-(x/3)(1-x)^3=(x/6)(1-x)^3
次にxの積分範囲[0→1]で積分します。
　∫[0→1]{∫[0→1-x]{∫[0→1-x-y] xydz}dy}dx=∫[0→1] (x/6)(1-x)^3 dx=1/120
この積分順序を積分範囲で示した表現の1つが
　V={(x,y,z)|0≦x≦1, 0≦y≦1-x,0≦z≦1-x-y}
です。
このVは直角三角錐で質問者さんのあげた参考URLの例題7.13の図です。
なお、Vはx,y,zについて対称なので、逐次積分の順序も何通りも考えられます。

お礼

詳しくありがとうございます。
本当に助かります。
どう書けばよいのかよく分かりました。