積分範囲

質問

3重積分でこんな問題があります

D: x^2+y^2+z^2<d^2,　x>0,　y>0,　z>0
∫∫∫(ax+by+cz)dxdydz　を求めよ。

積分範囲は通常<=とか>=だと思うのですが、<　>だった場合でも同じように計算するのでしょうか。
それともlimをとったりするのでしょうか。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

領域D:は半径dの球の内部でx>0,　y>0,　z>0の部分ですが、
　D={(x,y,z):x^2+y^2+z^2<d^2,　x>0,　y>0,　z>0}
等号が入った
領域D':は半径dの球の内部(球面を含む)でx>=0,　y>=0,　z>=0の部分
　D'={(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=d^2,　x>=0,　y>=0,　z>=0}
としても境界面の積分寄与はないので
積分は同じになります。
境界で被積分関数は特異点（極）を持つような場合でなければ、境界面を含まず積分で極限をとる場合と、境界面を含む積分とは同じになるので積分範囲は、境界が含まれていても、含まれて居なくても、同じ積分範囲で積分すれば良いでしょう。

つまり
d>0として
V=∫∫∫[D}(ax+by+cz)dxdydz=∫∫∫[D'}(ax+by+cz)dxdydz
=∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)](ax+by+cz)dz
となります。

球座標での積分なら
V=∫[0,π/2]dθ∫[0,π/2]dφ∫[0,d](arcosφsinθ+brsinφsinθ+crcosθ)(r^2)sinθdr
となります。

前者で積分するなら
V=∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)](ax+by+cz)dz
=∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] axdz
+∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] bydz
+∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] czdz
=a∫[0,d] xdx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] 1dz
+b∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)] ydy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] 1dz
+c∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)]dy∫[0,√(d^2-x^2-y^2)] zdz
=a∫[0,d] xdx∫[0,√(d^2-x^2)] √(d^2-x^2-y^2) dy
+b∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)] y√(d^2-x^2-y^2) dy
+c∫[0,d]dx∫[0,√(d^2-x^2)] (d^2-x^2-y^2)/2 dy
=a∫[0,d] x (π/4)(d^2-x^2) dx
+b∫[0,d] (1/3)(d^2-x^2)^(3/2) dx
+c∫[0,d] (1/3)(d^2-x^2)^(3/2) dx
=(πa/4)∫[0,d] x(d^2-x^2) dx
+(b/3)∫[0,d] (d^2-x^2)^(3/2) dx
+(c/3)∫[0,d] (d^2-x^2)^(3/2) dx
=(πa/4)(d^4/4)
+((b+c)/3)(3/16)πd^4
=(a+b+c)(d^4)π/16

そのまま丸写ししないで、合ってるかどうかは自身でフローして確かめて下さい。

お礼

自主学習なので理解できるまでじっくり取り組ませて頂きます。
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.3

noname#171582

積分範囲　b>ｘ>a　のとき
（I）＝∫f(x)dx

積分範囲　b≧ｘ≧a　のとき
（II）＝∫f(x)dx

（I）＝（II）

半直線　a=x　b=xは線分なので幅がありません。
つまり、面積には加担しないようです。

お礼

なるほど、面積に加担しないからそのまま積分でいいんですね。
回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

3重じゃないふつ～の定積分のときに「端は含むのか含まないのか」を考えますか?

お礼

質問を質問で返されるのは私は不快に感じます。
一応回答ありがとうございました。