重積分

質問

(x/a)+(y/b)+(z/c)≦1, x≧0, y≧0, z≧0,　a,b,cは正

この不等式で表される空間図形の体積を求めよ

詳しい解説お願いします。

特にｘとｙの範囲がわかりません。

回答No.2

shuu_01 · ベストアンサー

重積分なんて、数年 使っておらず、忘却の彼方に去ってますが、

ボケ防止に解いてみます

どこか、間違いそうなので、間違ってたら教えて下さい

そのグラフと３つの平面で囲まれた体積を出す問題ですよね？

D ＝ {(x,y) | (x/a)+(y/b)+(z/c)≦1, x≧0, y≧0, z≧0}

体積 ＝ ∬[D] zdxdy
＝∫[0,a] dx∫[0→b(1 - x/a)] c ( 1 - x/a - y/b) dy
＝∫[0,a] [ c(1 - x/a) y - (c / 2b) y^2 ] [0→b(1 - x/a)] dx
＝∫[0,a] ｛ -bc/2 (x/a - 1)^2 ｝ dx
＝∫[0,a] ｛ -bc/2a^2 (x - a)^2 ｝ dx
＝[ -(bc/6a^2) (x -a )^3 ] [0,a]
＝ abc / 6

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
わかりました。

回答No.1

NemurinekoNya

重積分？？？

《三角すい》の体積だから、
(1/6)・abc
と暗算！！

底辺a、高さbの三角形の面積はab/2
これに三角錐の高さcをかけたものを３で割ったのが答え。
(ab/2)・（c/3) = abc/6