３重積分に関する問題
R^3上の広義積分
（１）∫∫∫[R^3] e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
（２）∫∫∫[R^3] (x^2 + y^2 +z^2)e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
ただし、Q(x,y,z)=(x y z) A t(x y z)、Aは、上から、
A=(2 -1 1)(|-1 2 -1)(|1 -1 2)
で与えられているとします。上記の二つの積分を求めたいのですが、（１）に関しては次のように考えました。
（１）まず、Q(x,y,z)の標準化を考え、直行行列Pを用いてAを対角化します。そうすると、Pは（ただし、Aの固有値は4、1)、上から(最初の(1/√6)は係数）、
P= (1/√6)(√2 -√3 1)(-√2 0 2)(√2 √3 1)
となり、U=tPAPと置くと、A=PUtPとなるので、
Q(x,y,z)=t(tP t(x y z)) U tPt(x y z)。
ここで、(x' y' z')=tPt(x y z)と置くと、
Q(x,y,z)=t(tP t(x y z)) U tPt(x y z)=(x' y' z')Ut(x' y' z')=F(x',y',z')
と変換でき、またヤコビアンJ(x',y',z')=-2/3より、
∫∫∫[R^3] e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
=(2/3)）∫∫∫[R^3] e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
となります。よって、
(2/3)）∫∫∫[R^3] e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
=(2/3)∫[-∞,∞] e^(-4x'^2)dx'∫[-∞,∞] e^(-y'^2)dy'∫[-∞,∞] e^(-z'^2)dz'
ここで、x'=(1/2)sと置くと、上式は、
=(1/3)∫[-∞,∞] e^(-s^2)ds∫[-∞,∞] e^(-y'^2)dy'∫[-∞,∞] e^(-z'^2)dz'
=(1/3)(∫[-∞,∞] e^(-s^2)ds)^3
ここで、∫[-∞,∞] e^(-x^2)dx=√π より、
=(1/3)π√π
となりましたが、これで正しいでしょうか？また、（２）に関しては、
∫∫∫[R^3] (x^2 + y^2 +z^2)e^(-Q(x,y,z)) dxdydz
=∫∫∫[R^3] (x'^2 + y'^2 +z'^2)e^(-F(x',y',z')) dx'dy'dz'
としたところで止まってしまいました。どうやって考えればよいのでしょうか？
以上です。どなたかお力添えしていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。長文失礼しました。
お礼
ありがとうございます。方法２で書かれている極座標変換は面積分を求めるのと同じような方法で自分にはしっくりきました。方法２のほうでがんばってみます。