積分順序変更について

質問

積分順序変更について

http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node59.html

↑ここの例題7.11についてです。
二重積分や三重積分で極座標変換や円柱座標変換をする際、積分順序は積分区間を考慮せずに自由に入れ替えて良いのでしょうか？
この例では、先にzで積分していますし、それが一番簡単に計算できますが、先にrで積分しなくても良いのでしょうか？

なぜ、z→r→θの順で積分しているのか、理由が知りたいです。

∫{0→2}∫{x→2} e^(y^2) dydx　などは、積分順序を変更するとしたら、∫{0→2}∫{0→y} e^(y^2) dxdy　のように、積分区間も変更しなければならないと思います。
三重積分の場合も同様ですよね？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>積分順序は積分区間を考慮せずに自由に入れ替えて良いのでしょうか？
積分領域を考慮して入れ替えないとダメ。

>先にrで積分しなくても良いのでしょうか？
積分領域でのzがrの関数なので、rを先に積分できないですね。
「z→r」の積分順序は替えられません。

>なぜ、z→r→θの順で積分しているのか、理由が知りたいです。
積分領域のzがrの関数として与えられ、かつ　zで積分した後の関数が簡単になるため

「z→rの積分順序」とθの積分順序は、互いに積分領域が変数入替え可能です。
つまり、θ→z→rの順で積分してもよい。という事です。

意味はないですが
z→θ→rの順でも良いですね。

お礼

なるほど。
積分区間に変数がある場合、その変数は後に積分しなければならないのですね。
ありがとうございました。