3重積分に関する問題です。

質問

3重積分に関する問題です。

|||v x^3・y^2・z dxdydz 1（※ | は、インテグラルの代わりです＾＾；）
v = {x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1, x,y,z ≧ 1}

某大学受験の過去問にあるのですが、考え方が分からずに困っています。
このような問題を解く場合、積分範囲はどのようにして決定すればいいでしょうか？
範囲を決定した際の式の変形などがあれば、それも記載していただけると助かります。

解く際のポイントなど、ご教授よろしくお願いいたします。

回答No.5

mazimekko3 · ベストアンサー

#2です。

結果論をいうと、実はこの問題は一回の変数置換で解けたりします。
　x = r f g
　y = r f √(1-g^2)
　z = r √(1-f^2)
　v = { 0 ≦ r,f,g ≦ 1 }
　x^3 y^2 z dx dy dz = r^8 f^6 (g^2 - g^4) dr df dg
ただし、これはヤコビアンの計算が面倒だし、
実際にやってることは三次元極座標に置き換えて、
累次積分にした後に個別に変数置換したのと同じです。

結果は #1,#3さん が示しているように (1/9)(1/7)(2/15) = 2/945 になります。

院試とかに出題される求積可能な重積分の変数置換は、積分範囲で判断すると解きやすい。
この問題は明らかに球なので、球を表しやすい三次元極座標を使うといいです。

特殊な置換を必要とする問題をいきなり出題すると誰も解けないので、基本的に(2,3次元)極座標と円筒座標しか出題されないですが、もし出題されても、問題の流れとして変換が示されています。

一回の置換でいきなり解が求まることは珍しいです。
累次積分として計算できるようにすることが変数置換の目的です。

ちなみに、
#2でなんかスペースが化けてるかもしれませんが、エンコードの都合上なので気にしないでください。

お礼

再度のご回答、ご教授ありがとうございます。
院試問題の解き方も参考になりました。

＃１さん、＃２さんのおかげで解き方、解を知る事ができました。
ありがとうございました。
また何かあればよろしくお願いいたします。

補足

ベストアンサーにお一人しか選べないのが残念です・・・
前までは２人選べた気がするのですが、無くなったみたいですね＞＜；

ありがとうございました！

回答No.4

info22_

> x,y,z≧0として
x=r*cos(t),y=r*sin(t)(0≦r≦1,0≦t≦π/2)とおくと
I=∫∫∫[v] x^3・y^2・z dxdydz=
=∫∫[x^2+y^2≦1,x≧0,y≧0] x^3*y^2*√(1-x^2-y^2)dxdy
=∫[0,π/2]dt∫[0,1] r^5cos^3(t)sin^2(t)√(1-r^2) rdr
=∫[0,π/2] cos^3(t)sin^2(t) dt∫[0,1] (r^6)√(1-r^2)dr
=I1*I2
ここで,

cos^3(t)sin^2(t)=(1/4)cos(t)sin^2(2t)
=(1/8)cos(t){1-cos(4t)}=(1/8)cos(t)-(1/8)cos(t)cos(4t)
=(1/8)cos(t)-(1/16){cos(5t)+cos(3t)}
この積分I1は出来ますね。

I2=∫[0,1] (r^6)√(1-r^2)drはr=sin(u)(0≦u≦π/2)で置換積分する。
I2=∫[0,1] (r^6)√(1-r^2)dr
=∫[0,π/2] (sin(u))^6*(cos(u))^2du
ここで
(sin(u))^6*(cos(u))^2=(1/4)((1-cos(2u))^2)*(1/4)(sin(2u))^2
=(1/16)(1-2cos(2u)+(cos(2u))^2)(1/2)(1-cos(4u))
=(1/64)(2-4cos(2u)+1+cos(4u))(1-cos(4u))
=(1/64){3-4cos(2u)-2cos(4u)+4cod(2u)cos(4u)-cos^2(4u)}
=(1/64){3-4cos(2u)-2cos(4u)}+(1/32){cos(6u)+cos(2u)}-(1/128)(1+cos(8u))
=(5/128)-(1/32)cos(2u)-(1/32)cos(4u)+(1/32)cos(6u)-(1/128)cos(8u)
この積分なら出来ますね。

I=I1*I2=(2/15)*(5π/256)=π/384

お礼

細かい計算まで記述していただきありがとうございました。

回答No.3

gotouikusa

#1です。mazimekko3さんのご回答を参考しました。mazimekko3さんありがとうございます。
以下自分の計算方法の概略を記します。答え合わせ用にどうぞ。
V={x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1, x,y,z ≧ 0}
x = r * Sin[θ] * Cos[φ]
y = r * Sin[θ] * Sin[φ]
z = r * Cos[θ]
r : 0 → 1 , θ: 0→π/2 , φ: 0→π/2
J = r^2 * Sin[θ]
x^3 * y^2 * z * |J| = r^8 * Cos[θ]*Sin[θ]^6 * Cos[φ]^3 *Sin[φ]^2
r, θ, φ に関する積分が分離でき，それぞれ 1/9 , 1/7 , 2/15 になりました。
けっきょく， I = 2/ 945 .
間違いがあればご指摘ください。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
遅くなりましたが私も２／９４５の値を算出できました！
詳細まで記述していただき、本当にありがとうございました。

回答No.2

mazimekko3

なんか便乗するようで悪いけど、

円柱座標に変換することは出来る。
(x,y,z) = (r cos?θ, r sin?θ, z )
x^3・y^2・z dxdydz = (r^6・cos^3?θ・sin^2?θ・z) dr dθ dz

ただし、積分範囲が
r^2 + z^2 ≦ 1, r≧0, z≧0, π/2≧θ≧0
になる。

θは分離してるから積分はsinθを置換すれば出来る。
t=sinθ, 1≧t≧0
∬∫(r^6・cos^3?θ・sin^2?θ・z) dr dθ dz
=∬∫(r^6・(1-t^2)・t^2・z) dr dt dz
=∬∫(r^6・(t^2-t^4)・z) dr dt dz
=(2/15)∬(r^6・z) dr dz
(詳細は間違ってるかもしれない)

しかしr,zの積分範囲がrz-平面の円弧になってるから、
結局は二次元の極座標に置換しなければならない。
これは最初から#1さんの示している三次元極座標に置換したことと同義になる。

お礼

円柱座標を用いての解き方までありがとうございます。

「結局は３次元極座標に置換したことと同義になる。」
納得しました。ありがとうございました。

回答No.1

gotouikusa

>>x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1, x,y,z ≧ 1
x ,y,z が実数の場合は無理ではないでしょうか。

「x,y,z ≧ 1 ] を無視すれば，一般に極座標
x = r * Sin[θ] * Cos[φ]
y = r * Sin[θ] * Sin[φ]
z = r * Cos[θ]
r : 0 → 1 , θ: 0→π , φ: 0→2π
J = r^2 * Sin[θ]
に直すと思います。

ところで，「大学受験」ですか。日本の高校数学は本当にレベル高いですね(外国出身のものです)。

お礼

ご回答ありがとうございます。
早速参考にして解いてみたいと思います！

補足

いくつか入力ミスがあったので訂正させていただきます。

x,y,z ≧ 1　→　x,y,z ≧ 0

あと、大学受験ではなく、大学院受験でした＾＾；
申し訳ありません。

あと、極座標ではなく、円柱座標で考える事は可能でしょうか？
重ねた質問で申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。