解析の問題です

質問

教えてください
以下の関数の極値を求めよ
f(x,y)=(x^2-y^2)e^x

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

f(x,y)=(x^2-y^2)e^x
fx(x,y)=(2x+x^2-y^2)e^x
fy(x,y)=-2ye^x
停留点を求めると
2x+x^2-y^2=0
-2y=0
を解いて　(x,y)=(0,0),(-2,0)
停留点（極値候補）は２個のみ。
fxx(x,y)=(2+4x+x^2-y^2)e^x
fyy(x,y)=-2e^x
fxy(x,y)=-2ye^x
停留点(x,y)=(0,0)は
fxx(0,0)=2,fyy(0,0)=-2,fxy(0,0)=0
ヘッシアンdet H(0,0)
=fxx(0,0)fyy(0,0)-(fxy(0,0))^2=2(-2)-0=-4<0
なので鞍点。
停留点(x,y)=(-2,0)は
fxx(-2,0)=-2/e^2<0,fyy(-2,0)=-2/e^2,fxy(-2,0)=0
ヘッシアンdet H(-2,0)
=fxx(-2,0)fyy(-2,0)-(fxy(-2,0))^2
=4/e^4-0=4/e^4>0
なので極大点。極大値f(-2,0)=4/e^2 (eは自然対数の底、ネイピア数)

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K111.pdf