数学の微分の問題教えてください。

質問

次の関数 f(x,y)　の極値を調べて下さい。

（１）f(x,y)=x^2-y^2

（２）f(x,y)=x^2＋y^4

（３）f(x,y)=x^2-xy＋y^2-4x-2y

（４）f(x,y)=x^3＋y^3＋x^2＋2xy＋y^2

回答No.2

ferien · ベストアンサー

ANo.1です。（４）で間違いがありました。以下のように訂正お願いします。

＞（４）f(x,y)=x^3＋y^3＋x^2＋2xy＋y^2
ｆx＝３ｘ^2＋２ｘ＋２ｙ，ｆy＝３ｙ^2＋２ｘ＋２ｙ　を連立で解くと、
（ｘ，ｙ）＝（０，０）（-4/3，-4/3）
ｆxx＝６ｘ＋２，ｆyy＝６ｙ＋２、ｆxy＝２より、
（ｘ，ｙ）＝（０，０）のとき、Ｊ＝２・２－４＝０で、（０，０）の近くで
ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ＋ｙ）｛（ｘ－ｙ／２)^2＋３ｙ^2／４｝＋（ｘ＋ｙ）^2であるから、
ｘ＋ｙの値によっては、正にも負にもなるので、（０，０）で極値をとらない。

（ｘ，ｙ）＝（-4/3，-4/3）のとき、Ｊ＝（６×(-4/3)＋２）^2－４＝３２＞０
ｆyy＝６×（-4/3)＋２＝－６＜０だから、（-4/3，-4/3）で極大値をとる。
＞よって、極大値ｆ（-4/3，-4/3）＝６４／２７

極大値だけなのでお願いします。

回答No.1

ferien

＞次の関数 f(x,y)　の極値を調べて下さい。
（３）と（４）だけですが。

＞（１）f(x,y)=x^2-y^2
極値はありません。
＞（２）f(x,y)=x^2＋y^4
（０，０）で、極小値０

＞（３）f(x,y)=x^2-xy＋y^2-4x-2y
ｆx＝２ｘ－ｙ－４，ｆy＝－ｘ＋２ｙ－２　を連立で解くと、（ｘ，ｙ）＝（10/3，8/3）
fxx＝２，fyy＝２，ｆxy＝０より、　Ｊ＝ｆxx・ｆyy－ｆxy^2＝４＞０のとき極値をとる。
ｆxx＞０だから、（10/3，8/3）で極小値をとる。
よって、ｆ（10/3，8/3）＝－２８／３

＞（４）f(x,y)=x^3＋y^3＋x^2＋2xy＋y^2
ｆx＝３ｘ^2＋２ｘ＋２ｙ，ｆy＝３ｙ^2＋２ｘ＋２ｙ　を連立で解くと、
（ｘ，ｙ）＝（０，０）（-4/3，-4/3）
ｆxx＝６ｘ＋２，ｆyy＝６ｙ＋２、ｆxy＝０より、
（ｘ，ｙ）＝（０，０）のとき、Ｊ＝２・２－０＝４＞０
ｆxx＝２＞０だから、（０，０）で極小値をとる。
よって、極小値ｆ（０，０）＝０
（ｘ，ｙ）＝（-4/3，-4/3）のとき、Ｊ＝（６×(-4/3)＋２）^2－０＝３６＞０
ｆyy＝６×（-4/3)＋２＝－６＜０だから、（-4/3，-4/3）で極大値をとる。
よって、極大値ｆ（-4/3，-4/3）＝６４／２７

になりましたが。。どうでしょうか？
使っている教科書などによって判定方法が少し違うかもしれないので、確認して下さい。