多変数の微分－極値問題

質問

f (x, y) = (x^2 + 2y^2) e^-(x^2 + y^2) の極値を全て求めよ
という問です。

解くに当たってまず、極値を取る点の候補（停留点） (x_0, y_0) を全て求めようと思います。
f_x (x_0, y_0) = f_y (x_0, y_0) = 0

f_x = 2x ・{ e^-(x^2 + y^2) } + (x^2 + 2y^2) ・{ e^-(x^2 + y^2) } ・(-2x)
　　= 2x ・{ e^-(x^2 + y^2) } (1 - x^2 + 2y^2)
f_y = 4y ・{ e^-(x^2 + y^2) } + (x^2 + 2y^2) ・{ e^-(x^2 + y^2) } ・(-2y)
　　= 2y ・{ e^-(x^2 + y^2) } (2 - x^2 + 2y^2)

極値を取る点の候補 (x_0, y_0) = (0, 0)
は分かるのですが、他の点が思いつきません。

(x_0, y_0) = (0, 0) 以外にありましたらお教え下さい。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

＞　　= 2x ・{ e^-(x^2 + y^2) } (1 - x^2 + 2y^2)
＞　　= 2y ・{ e^-(x^2 + y^2) } (2 - x^2 + 2y^2)
2y^2の前の符号は「-」の間違いです。

f_x =f_y =0から
x(1 - x^2 - 2y^2)=0　…(1)
y(2 - x^2 - 2y^2)=0　…(2)

(1)から
x=0　または　x^2 + 2y^2=1

x=0の時
(2)は
2y(1-y^2)=0 →　y=0,±1
(x,y)=(0,0),(0,1),(0,-1)

x^2 + 2y^2=1の時
(2)は
y*1=0 → y=0
x^2 + 2y^2=1に代入
x=±1
(x,y)=(1,0),(-1,0)

以上から停留点は
(x,y)=(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)
の5点です。

各滞留点をさらに調べると
極小値f(0,0)=0
極大値f(0,-1)=f(0,1)=2/e
極値でない滞留点f(-1,0)=f(1,0)=1/e
となることが出てきます。

なお
fxx,fyy,fxy=0の符号や判別式から極大、極小、そうでない滞留点の判別ができます。

補足

f_x = 2x ・{ e^-(x^2 + y^2) } (1 - x^2 - 2y^2)
をもう１度微分して f_xx を求めたいのですが、
2x と e^-(x^2 + y^2) と (1 - x^2 - 2y^2) の積と考えて、
y = fgh → y' = f'gh + fg'h + fgh'
を用いて解けばよいのですか？

回答No.3

info22

#2です。
補足質問の回答です。

＞　f_x = 2x ・{ e^-(x^2 + y^2) } (1 - x^2 - 2y^2)
＞　をもう１度微分して f_xx を求めたいのですが、
＞　2x と e^-(x^2 + y^2) と (1 - x^2 - 2y^2) の積と考えて、
＞　y = fgh → y' = f'gh + fg'h + fgh'
＞　を用いて解けばよいのですか？
それでもいいですが、
f_x=(2x -2x^3 -4xy^2)*e^{-(x^2 +y^2)}

と変形して
f_x=g*h,
f_xx= g'h + gh'
={(2-6x^2-4y^2)-2x(2x -2x^3 -4xy^2)}*e^{-(x^2 +y^2)}
=…
と計算した方がベターでしょう。

なお、停留点で極小、極大、そうでないかの判別は参考URLを参考にして下さい。

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

回答No.1

dedenden

まず、f_x と f_y の展開が間違っているので訂正しておきます。

f_x = 2x ・{ e^-(x^2 + y^2) } (1 - x^2 - 2y^2)
f_y = 2y ・{ e^-(x^2 + y^2) } (2 - x^2 - 2y^2)

あとは、以下をヒントに解いてください。

・e^-(x^2 + y^2) は常に正（0にはならない）
・f_x 中の (1 - x^2 - 2y^2) と f_y 中の (2 - x^2 - 2y^2) は、
　同時に0になることはない

私の計算では、停留点は合計3個です。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

f_x = 2x ・{ e^-(x^2 + y^2) } (1 - x^2 - 2y^2)
をもう１度微分して f_xx を求めたいのですが、
2x と e^-(x^2 + y^2) と (1 - x^2 - 2y^2) の積と考えて、
y = fgh → y' = f'gh + fg'h + fgh'
を用いて解けばよいのですか？