解析の問題

質問

f(x,y)=e^(2x+3y)に対してx,yの二次多項式g(x,y)で、

　　　lim[(x,y)→(0,0)] (f(x,y)-g(x,y))/(x^2+y^2)=0

を満たすものを求めよという問題なのですが、どうやって考えていけばよいのでしょうか？どなたかヒントを教えていいただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.4

info22

#2です。

A#2でのg(x,y)の2次元テーラー展開を求めれば良いと公式を書いて
あげましたがやって見ましたか？

>g(x,y)=Σ(m=0,2)（1/m!){x(∂/∂x)+y(∂/∂y)}^m *f(0,0)
=f(0,0)+xfx(0,0)+yfy(0,0)+(1/2)(x^2)fxx(0,0)+xyfxy(0.0)+(1/2)(y^2)fyy(0,0)
ここで
f(0,0)=e^0=1
fx(x,y)=2e^(2x+3y),fy(x,y)=3e^(2x+3y),fx(0,0)=2,fy(0,0)=3
fxx(x,y)=4e^(2x+3y),fxy(x,y)=fyx(x,y)=6e^(2x+3y),fyy(x,y)=9e^(2x+3y),
fxx(0,0)=4,fxy(0,0)=fyx(0,0)=6,fyy(0,0)=4
これらの係数をg(x,y)の展開式に代入すれば
limの条件式を満たすものが得られます。

回答No.3

Akira_Oji

g(x,y)=ax^2+by^2+gxy+dx+ey+c とでも置いて、
分子は
H(x,y)=f(x,y)-g(x,y)=e^(2x+3y)-{ax^2+by^2+gxy+dx+ey+c}

分母が(x,y)->(0,0)でいつも０になることから、極限値を持つためには分子も(x,y)->(0,0)で０になることを要求する。

分子は
H(０,０)=e^(2・０+3・０)-{a・０^2+b・０^2+g・０・０+d・０+e・０+c}＝１-c
これが０であることを要求して、c=1.

(x,y)->(0,0)で、0/0型の不定であることから、ロピタルの定理を使う。

まず、分母・分子をｘで偏微分したものは
[2e^(2x+3y)-{２ax+gy+d}]/2x
分母が(x,y)->(0,0)でいつも０になることから、極限値を持つためには分子も(x,y)->(0,0)で０になることを要求する。
2-d=0 --> d=2

同様に、分母・分子をｙで偏微分したものより、e=3

再度、分母・分子をｘで偏微分したものより、a=2

再度、分母・分子をｙで偏微分したものより、ｂ=9/2

分母・分子をｘとｙで偏微分したものより、ｇ=６

これらより、
g(x,y)=2x^2+(9/2)y^2+6xy+2x+3y+1
となりましたが。

回答No.2

info22

ヒント）
#1さんが言われているように2変数のTaylor展開を使えばいいと思います。

具体的には
f(x,y)の(0,0)における2変数Taylor展開の2次の項まで和
g(x,y)=Σ(m=0,2)（1/m!){x(∂/∂x)+y(∂/∂y)}^m *f(0,0)
とすれば
>lim[(x,y)→(0,0)] (f(x,y)-g(x,y))/(x^2+y^2)=0
を満たすかと思います。

g(x,y)を求めて0に収束するか確認してみて下さい。

質問する場合は自力でできる範囲の解答の過程を詳細に書いて、行き詰った箇所についてだけ質問して下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます。
まったくもって方針が見えなかったため、取っ掛かりだけでもと思い、投稿させていただきました。すみません。
詳細な説明ありがとうございます。これで何とかなりそうです。
どうもありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

テイラー展開すればいいのでは.

お礼

ご回答ありがとうございます。
テイラー展開の存在をすっかり忘れておりました。
早速といてみたいと思います。
ありがとうございました。