次の通過領域の問題の解説をお願いします。

質問

xyz空間において、点（0,0,0）をA、点（8,0,0）をB、
点（6,2√3,0）をCとする。点Pが△ABCの辺上を
一周するとき、Pを中心とし、半径１の球が通過する点全体の
つくる立体をKとする。Kの体積を求めよ。

答えは(40/3+4√3)π-{4+(8√3 /3)}です。お願いします。

回答No.2

kittensillabub

平面図形の面積を考える時は、その図形を計算しやすいように分割した面積を求めて
最終的に足し算します。
うまく分割できない時は重なりを許容して、重なった分の面積を引きます。
立体も同じ考え方ですよね。３次元的に考えないといけないのがちょっと難しい。

単に直線上を球が通過して切り取る領域なら半球と円柱の組み合わせで表現できます。
これを三角形に組み合わせると問題の通過領域ですが、各頂点の部分で見事に
重なってくれてます。
それでも球と円柱、そして重なり部分を引く方針がわかり易いと思います。
なお、この重なり部分は単純な立体(体積計算がしやすい立体)ではないので、
積分することになります。

もう一度、問題の通過領域を考えてみると
　・三角形の頂点部分に球をスイカのように切った三日月みたいな立体、と
　・各辺を心棒にした円柱の組み合わせ

になります。そして、
　・重なる部分は隣り合う辺に対応する円柱同志のみであること、
　・各頂点にあるスイカは３つ合わせて球になること

が分かると思います。

幸い、三点(頂点)とも z=0なので xy平面上で考えればよく、xy平面での断面を
考えるとわかり易いです。
# 絵を描いておかないと、だんだんわかりにくくなる ...

もう一つ、３つの円柱が同時に重なる領域がないか確認しておく必要がありますが、
今回は、あそこの座標から容易に判断できます。

球と円柱の体積は容易にわかるので、あとは重なり部分の体積を引けばいいです。
重なりは３カ所ありますが、１か所考えれば、他はある角度が異なるだけです。

原点付近の重なり部分の断面ですが、xy平面上では
　一辺が 1(球の半径、あとで yと置きます)、その対角が∠CABの半分である
　直角三角形を２つを、長方形にならないように斜辺でくっつけた四辺形(凧型？)です。
字で書くと呪文ですが、xy平面で原点付近の絵を描いてみればわかると思います。

この図形が z= -1 ～ 1 まで連続的に変化しますので、これを積分すればよいです。

今度は yz平面で考えて、z = 0の時、 1(球の半径)だった部分、これを yとすると、
　y^2 + z^2 = 1 が成り立ちます。
#ちょっと説明を端折ってます;;

これらを用いて点A付近の重なり部分の xy平面に平行な断面(凧型)の面積は、

S(A) = y * y/tan(∠CAB/2) * 1/2 * 2

となり、これを z = -1から 1まで積分します。
y^2 + z^2 = 1 を用いて、面積を zの関数にすれば容易でしょう。

これを各頂点分、３つ求めて、半径１の球と、高さがそれぞれ a, b, cで底面積が半径１の
円中の体積から引くと答えが出ます。

さて△ABCは良く見慣れた三角形なので各辺の長さ、角の大きさは容易にわかると思います。
それぞれの角の大きさの半分に対するtangent(正接)が必要ですが、
一つだけ半角公式を知らないと、加法定理などからせっせと求めないとだめかも知れません。

最終的にそれぞれの体積は、

　球 : 4π/3

　円柱: π * (a + b + c)
　　　　 = (12 + 4√3)π

　重なり部分:
　　　　　　S(A) + S(B) + S(C)
　　　　　= (2 - 2/3) * (1/tan(∠CAB/2) + 1/tan(∠ABC/2) + 1/tan(∠BCA/2))
　　　　　= 4 + 8√3/3

となり、あとは足し引きすれば答えは出ます。

回答No.1

naniwacchi

3辺の長さがそれぞれa,b,cである三角形がある。
点Pがこの三角形の辺上を一周するとき、
Pを中心とした半径rの円が通過する点全体のつくる図形をJ(r)とする。J(r)の面積を求めよ。
という問題の考え方が基本。

とにもかくにも、三角形が「どのような形状をしているのか」を調べることが最初。
・xyz空間内で「傾いている状態」を「水平な状態」に置き換える。
・三角形ABCの面を基準として、高さｈのところで「薄切り」にした図形を考え、
・この図形の面積をｈの関数として表した上で、積分をして立体の体積を求める。