球Oが通過する部分の体積

質問

「１辺の長さが５の正三角形ABCと半径rの球Oがあります。球Oの中心がABCの周上を一周する時、球Oが通過する部分の体積を求めなさい。ただし0＜r≦1」

という問題の解法をお願いします。
とある試験の過去問なのですが、解説が省略されてて分かりません。
答えは
(49πr^3)/3 -4(√3)r^3
となっています。よろしくお願いします

回答No.3

noname#152422 · ベストアンサー

2番ですが、間違えました。

「(1)の体積はπr^3」でなくて「(1)の体積は5πr^2」です。

したがって、結果は

15πｒ^2+(4/3)πr^3-4(√3)r^3

です。結果は違ってましたね。

すみませんでした。

お礼

自力でも何とかした結果、同じ結果になりました。やはり答えが間違っていたようです。回答ありがとうございました。

私もパーツに分けて考えたのですが、(３)部分がどういった形になるかのイメージが中々できずに詰まってました(＞＜)

回答No.4

nag0720

＃１です。

＃１で書いた比例とは、正比例のことです。

体積がr^3に正比例しているとは、V=Ar^3と表現できるということです。

(49πr^3)/3 -4(√3)r^3={(49π)/3 -4(√3)}r^3
ですから、これはr^3に正比例しています。

問題が正しいとすれば、その答えは、
＃３さんの回答のように、r^2に正比例している部分とr^3に正比例している部分との合算になるはずです。

お礼

仰る比例については把握しました。補足説明ありがとうございます(^^)

やはり答えが間違っていたようです。自力で出した結果、やはり＃３さんと同じ結果になりました。

回答No.2

noname#152422

体積を計算するときに、次の3つのパーツを考えました。

(1)半径r、高さ5の円柱
(2)半径rの球を3分の1にしたもの
(3)(1)を、その底面の中心を通って底面とのなす角度がπ/3となる平面で切断して2つに分割したときの小さい方

「球Oが通過する部分」は、(1)を3つ、(2)を3つ集めた部分から(3)を6つ引いた部分になります。

(1)の体積はπr^3

(2)の体積は(4πr^3/3)×(1/3)

(3)の体積は∫_0^((√3)r) (2∫_(r-y)^r √(r^2-t^2)dtdx　（添付の図を参照）＝(2/(√3))r^3

添付の図は、わかりにくいかもしれませんが、三角形ABCと、球が動き回った跡を、三角形ABCを通る平面で切断したときの一部です。三角形の頂点、隣り合う(2)同士の接触する部分でAから一番はなれたところ、Aを通る球面と(2)との接線（直角）の部分がそれぞれ大きい方の直角三角形の頂点と見ています。

「球Oが通過する部分の体積」＝(1)×3＋(2)×3－(3)×6＝(49πr^3)/3 -4(√3)r^3

になりました。結果は手元の計算と合ってます。
(3)の積分が面倒くさいので計算間違いに注意してください。

回答No.1

nag0720

残念ながら、問題か答のどちらかが間違っています。

もし、三角形の１辺の長さがrに比例するなら、体積はr^3に比例しますが、
１辺の長さが５と固定されているため、求める体積は、r^3に比例しません。

(49πr^3)/3 -4(√3)r^3は、r^3に比例しているのでこれは答にはなり得ません。

お礼

球の体積はｒによって変化するので、１辺の長さが固定されていようとｒについて比例するとは思うのですが、どうなのでしょう。　ちなみに今使った比例は「ｒの値の変化にしたがって体積Vが変化する」というような意図で使っています。

ただ問題または答えが間違っているのかなぁとは私も思いました。平面上で正三角形の周を周る円の通過する面積というのが前にあるので答えが違うのだと思うのですが・・