円盤回転の問題(体積）

質問

半径１の円板が、その中心Ｏにおいて直線ｌと角度θ(0≦θ＜1/2π)で交わってる。

ｌを軸として、円板を回転してできる立体の体積を求めよ。

これなんですけど、なんとな～く傘型積分に似てるので、球の体積にcosθを掛けた　値だと思ったんですけど（実際そうなのだが・・・）やり方が全然わかりません。普通のやり方でも、cosθを掛けた値になる理由でもどっちでも結構です。この立体の外形の予測すらつかない状態です。教えてくださいお願いします。

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

積分は直線lをy軸、中心Ｏを通りy軸に直角にx軸をとってy軸のまわりの回転体の体積として計算します。
円盤の外回りの円周は球の表面を通って回転します。
一方円盤の内部の表面は球の内部を以下の部分を除いてくまなく通過します。
y=x cotθをy軸の周りに回転したロート上の円錐の側面より上の球の内部は円盤の内部は通過しません。
角度θで切り取りますので回転体は中心Ｏから上下にcosθの範囲までに存在します。
上下対象ですので中心から上の部分だけ積分し2倍すればいいでしょう。
積分法はx軸に平行な高さyで水平に切断した真ん中に穴のあいたドーナツ上の円盤の断面S(y)を[0->cosθ]で積分し、下半分の体積の分で2倍してやればいいですね。
以下積分は
V=2π∫[0->cosθ] (1-y^2)-(ytanθ)^2dy
=2π∫[0->cosθ] [1-(y^2){1+(tanθ)^2}]dy
=2π∫[0->cosθ] [1-(y^2)/(cosθ)^2}]dy
=2π{∫[0->cosθ] dy -{1/(cosθ)^2}∫[0->cosθ](y^2)dy}
= ...
=(4π/3)cosθ

となるかと思います。
確認してみてください。

＞cosθを掛けた値になる理由でもどっちでも結構です。

積分結果を見れば球の体積にcosθを掛けただけの式になっていますね。

回答No.1

Trick--o--

「外形の予測すらつかない」と仰いますが、実際に作ってみましたか？
厚紙と竹串（別に鉛筆でも）で作れますよね。
厚紙を円形に切って、中心に串を刺して、ずれない様に固定して、回す！！

θ＝０だと球になるのはわかるよね？　lが直径と一致するんだから。