先生曰く難しい高校数学の問題です。

質問

先生曰く難しい高校数学の問題です。

原点をOとするxyz空間に2点P(cosπt,sinπt,t),Q(cosπt,sinπt,0)をとる。0≦t≦1のとき、
tが0から1まで動くときら△OPQが通過する部分の体積を求めよ。

ヒントとしてはt=k/nと置くようです。

回答No.2

tadopikaQ · ベストアンサー

この問題は、空間の想像力が要求される点で、確かに難問と言えるでしょう。

tが⊿t増加したときの立体の体積変化を考え、これをt=0~1の間で積分します。

t=t のときの△OPQと t=t+⊿t のときの△OPQで挟まれた部分は、四角錐と見なすことができます。
底面積=t*π⊿t, 高さ=1 の四角錐です。
この体積は、V=t*π⊿t*1/3 となります。

よって、求める立体の体積は、
V=∫(t=0~1){π/3*t}dt
=π/6

お礼

名古屋市大の問題のようです。
解答でははさみうちの原理を利用していました。

回答No.1

noname#232123

立体を、平面y=k(0≦k≦1)で切り、そのxz平面への正射影は台形で、その高さは√(1-k^2), 上底、下底は、t1, t1(ただし、t1+t2=1)となります。したがってこの台形の面積S(k)は、
S(k)=(1/2)*2√(1-k^2)*(t1+t2)=√(1-k^2).
となり問題の体積Ｖは、
V=∫[0 to 1]√(1-k^2) dk=pi/4.
----------------------------
または、
V=∫[0 to 1]{∫[-√(1-y^2) to √(1-y^2)](-1/2)(x-1)dy}dx
=∫[0 to 1]√(1-y^2) dy=pi/4.

補足

答えはπ/6です