コインが壁と床をずりすべって倒れたときの通過領域

質問

コインを立てて遊んでいたときに思いついたふとした疑問です。

コイン(半径1の円盤で厚さは考えない)が壁に立てかけてあります。
コインの上部の点が壁に接しながら、コインの下部の点が床をずりすべって倒れたときの通過領域の形と体積と表面積はどうなるのでしょうか？

xyz空間で、コインが、
{(x,y,z)|x=0 , y^2+(z-1)^2=1}
の状態から、
{(x,y,z)|z=0 , (x-1)^2+y^2=1}
の状態になったときの通過領域のことです。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

No.2, 3のコメントについてです。
　体積と表面積の話は放置してましたが、お楽しみということで、いろんなやり方で試すのが良いと思いますが：

> 平面図形をある軸の周りに一回転させたときにできる回転体の体積は、面積×「重心の移動距離」、で計算できるというものですが、それと似た感じで、

扱うためには、各瞬間における回転軸が図形の外になくちゃいかんですね。言い換えれば、図形のうち、軸の反対側にある部分は面積が負になると思わなくてはいけない。

> 1回だけ通過するところと、2回通過するところがあることが分かりました。

　体積に関しては、L(a)が２度掃く部分があることを考えると、どうも、素直にy=aでの面積をパーツに分けて計算した上で、y方向に積分するのが簡単そうな気がします。
　しかし、同じ手で表面積を出そうとするとなかなか大変そうです。y=aによる断面で考えるのは得策ではないかも。表面を構成する曲面は、少なくとも式の形ではすっかり分かった訳ですし。

お礼

再びありがとうございます。
僕は普段は家庭教師をしたりしているのですが、今日は暴風雨で休みだったので、少し考えてみました。
(逆を返せば、普段は考えていない。。。笑)

まず、アステロイドx^(2/3)+y^(2/3)=1と第一象限でできる面積。
普通は陽関数y={1-x^(2/3)}^(3/2)に直したり、パラメータでx=cos^3(θ),y=sin^3(θ)にして考えるが、線分が掃くとして考える。
時刻tでの、長さ1の線分AB
(ただし、A(t,0),B(√(1-t^2))
がt=0からt=1まで動いたときの通過部分でできる面積となる。
ただ、その線分の右側に注目すると、どの瞬間にも、線分の一部では新しい面積を掃きながら、線分の他の部分ではすでに掃いた面積を掃き戻したりしている。
したがって、時刻tでの、長さ1の線分とアステロイドとの接点を計算して、それをC(t^3,(1-t^2)^(3/2))とし、
線分ACがt=0からt=1まで動いたときの通過部分でできる面積を考える。
通常の積分は短冊状の微小長方形の面積を考えるのに対して、今回はいわゆる「微小四角形の面積」を考える。
時刻tでの線分AC
(ただし、A(t,0),C(t^3,(1-t^2)^(3/2))
の中点の位置ベクトル(1/2)(t^3+t ,(1-t^2)^(3/2))は微小時間dtで変化する方向は、
(dt/2)(3t^2+1 , -3t(1-t^2)^(1/2))

「微小四角形の面積」＝｜「ベクトルAC」×「線分ACの中点の変化する方向ベクトル」｜
ただし、×は第三成分を0として3次元ベクトルと見た外積、｜｜は絶対値

あとは、その微小面積をt=0からt=1まで積分して面積を求めることができました。

次に、長さ1の線分の両端からhの長さだけ切り取って、1-2hにした部分の掃く面積を、
No.3の図を元に考えようとしましたが、そのままではうまくいきませんでした。
No.3の図で赤と青と緑の曲線で囲まれる部分が、そのままでは「微小四角形分割」できないからです。

したがってやはり、stomachmanさんの示唆にあるように、「L(a)が通らない領域」を考えるのが必然のようです。
あとは、地道な計算で、本来の「コインがずりすべったときの体積」が求められそうです。

次に、アステロイドの弧長は、いわゆる「折れ線分割」で求められます。
L(a)が通る領域の境界の弧長においては、楕円の弧長を求める必要があり、文字通り、楕円積分が必要になりそうです。

これだけ考えて書くのに3時間かかってしまいました。

回答No.3

stomachman

せっかくご自分でお考えになった問題ですから、いろいろいじくって楽しまれたら良いと思います。
ピンと来ないということなら、図の上でアステロイドの接線をいろいろ動かしてみれば、L(a)の端点の軌跡である青と緑の楕円がポイントなのがお分かりになるかと。
×印のところが「L(a)が通らない領域」、L(a)の長さは1-2hです。

お礼

お手数をおかけしてすみません。
頂いた図で、線分が掃いていく形をイメージできました。
1回だけ通過するところと、2回通過するところがあることが分かりました。

回答No.2

stomachman

ANo.1は、ちょっと言葉がおかしいところがあったので修正。

> 壁と床に常に接している線分L(0)

両端が壁と床に常に接している線分L(0)

と言うべきでした。L(a)の端点の軌跡が楕円になることが分かれば、あとは簡単でしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。

L(0)の通過領域がアステロイドになることは理解しました。
ただ、それはL(0)の端点の軌跡とはまったく無関係です。
L(0)の端点の軌跡は、線分です。

なので、L(a)の端点の軌跡が楕円になることがわかっても、あまり役立たない気がします。
L(a)の通過領域がどうなるのかさえ、想像ができていない状況です。

ところで、パップスギュルダンの定理という大学受験テクニックで習う人が多いものがあります。
平面図形をある軸の周りに一回転させたときにできる回転体の体積は、面積×「重心の移動距離」、で計算できるというものですが、それと似た感じで、
長さ一定の線分をパラメータtでずらしていくときにできる面積は、長さ×「線分の中点の微小な移動距離で、線分に垂直な成分」をtで積分して計算出来ると思います。
ただ、L(0)の通過領域内の任意の点は、L(0)によって2回通過される(第一象限でアステロイド内の任意の点からアステロイドに接線を2本引ける)ので、そのあたりの処理をどのようにすればよいか解決していません。
L(a)の通過領域内の任意の点も、L(a)によって2回通過されるのかどうかさえ解決していません。

回答No.1

stomachman

「ずりすべる」って面白い言葉だな。気に入りました。

　ずりすべってるコイン上には、壁と床に常に接している線分L(0)があります。これはコインの直径であり、y=0の平面上にある。さて、コインの通過領域のうちy=0である部分に注目すると、これはL(0)の通過領域に他ならず、「アステロイド」と呼ばれる曲線
　　x^(2/3)+z^(2/3)=1
と、壁(x=0)と床(z=0)とに囲まれた図形になります。（もちろん、y=0）
http://okwave.jp/qa/q3481904.html

　次に、コイン上に、L(0)と平行でLからの距離がaであるような線分L(a)　（つまりコインとy=±aの平面との交わりです）を考えたとき、その通過領域がどうなるか。

　コインをy軸の方向から見た図を想像すれば、明らかに、L(a)は、どの時点においてもL(0)に含まれる線分になっている。だから、L(a)が通過した領域は、L(0)が通過した領域の一部になっている。
　L(0)とx軸との交点A、L(0)とz軸との交点Bを考えると、AとBの距離は1であり、L(a)の一端はAからD(a)=(1-√(1-2(a^2)))/2だけ、他端はBからD(a)だけ離れた位置にあります。
　あとはこれら両端点の動きを追跡しさえすれば、力ずくの計算をしなくても、たとえば「L(0)が通過した領域のうち、L(a)が通過しなかった領域の形」が分かるんじゃないでしょうか。