対数関数 解の個数

質問

xについての方程式log[2](x-3)=log[4](2x-a)の解の個数をaで場合分けして求めよ
という問題です
どう解けば良いのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

tetra_o

まず、与えられた式を変形します。
log[2](x-3)=log[4](2x-a)
log[2](x-3)=1/2*log[2](2x-a)=log[x]√(2x-a)
∴ x-3 = √(2x-a)
両辺を二乗して、整えれば、x^2-8x+9+a=0 但し、真数条件よりx>3且つx>a/2

さて、x^2-8x+9+a=0 を変形すると、 a=-(x-4)^2+7
これはつまり、xy平面上におけるy=aのグラフとy=f(x)=-(x-a)^2+7のグラフの交点の個数が、log[2](x-3)=log[4](2x-a)の解の個数に一致することを示しています。あとは真数条件x>3且つx>a/2を考慮しつつグラフを考えていけばいいのです。

(i)a/x<=3つまりa<=6の時、真数条件はx>3
このxの範囲で、y=f(x)のグラフはy=a のグラフと1つの交点を持つ。

(ii)6<a<7の時、真数条件はx>a/2
a-f(a/2)=1/4(5a^2-16a+36)>0 つまり、 a>f(a/2)であるから、このxの範囲で、y=f(x)のグラフはy=a のグラフと2つの交点を持つ(分かりにくければ図をかいてください。要はa/2<c<4且つf(c)=aなるcが存在するってことです)。

(iii)a=7の時、真数条件はx>3.5 また、解はx=4 よって解は1つ

(iv)7<aの時、このxの範囲で、y=f(x)のグラフはy=a のグラフと交点を持たない。

以上より、
a<=6の時、解は1個
6<a<7の時、解は2個
a=7の時、解は1個
7<aの時、解は0個

回答No.1

noname#201445

底を２に揃える。