実数解の個数について

質問

すみません、数Iの知識がほとんどありません。
以下の問題の解き方を教えてください。

ｘの方程式　２sin二乗ｘ－（２a＋１）sinx＋a＝０・・・(1)（ただし、a:定数、０度≦ｘ≦１８０度）
の相異なる実数解の個数が、

i)2個の時
ii)3個の時
iii)4個の時

における、それぞれの定数aの条件を求めよ。

※sinxが、１/2、aになるまでは分かったのですが、そのあとが分かりません。
aを０と１の間で、場合分けして回答するようなのですが、その意味も分かりません。
この問題は、いったい何を聞いているのでしょうか。

もしできましたら、解法とともに参考となるＨＰアドレスなどもお教えいただけたら嬉しいです。
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.3

info22_

2(sin(x))^2 -(2a+1)sin(x)+a=0
2(sin(x)-a)(sin(x)-(1/2))=0

sin(x)=a,sin(x)=1/2

(1)sin(x)=1/2 (0<=x<=180°)から　x=30°,x=150°（2個）…(★)

(2)sin(x)=a (0<=x<=180°)から
　a>1の時　解なし
　a=1の時　x=90°（1個）
　1/2<a<1の時 30°<=x<=150°の範囲にxは2個。
　a=1/2の時　x=30°,x=150°（2個）…(★)と一致。
　0≦a<1/2の時　0°≦x<30°に１個、150°<x≦180°に1個 (2個)
a<0の時 0個

(1),(2)をまとめると
解の個数条件は以下の通り。
i)2個の時 a<0, a=1/2, a>1
ii)3個の時 a=1
iii)4個の時 0≦a<1/2, 1/2<a<1

お礼

回答ありがとうございます。
現在、皆様に回答いただいた内容を踏まえて問題をもう一度考えております。
取り急ぎ、お礼まで。

回答No.2

DJ-Potato

2・(sinx)^2 - (2a + 1)・sinx + a = 0
(sinx)^2 - (a + 1/2)・sinx + a/2 = 0
(sinx - a)(sinx - 1/2) = 0
sinx = a または 1/2

sinx = 1/2の時　0° ≦ x ≦ 180°の範囲内では
x = 30° または150°

※この２つの実数解は固定

sinx = aの時
a < 0 の時　sinx = aを満たすxはない
a = 0 の時　sinx = 0°または180°
0 < a < 1 の時 sinx =aを満たす解は、0°～90°と90°～180°に１つずつ
a = 1 の時　sinx = 90°
a > 1 の時　sinx = aを満たすxはない

∴
　i)　a ＜ 0　または　a ＞ 1
　ii)　a = 1
　iii) 0 ≦ a ＜ 1

お礼

こんなに早く、ご回答いただきありがとうございます。
すみません、お礼とともに追加でご質問させていただいてもよろしいでしょうか。

ｘが、３０度または１５０度までは分かったのですが、これ以外に解があるというのが、
今一つよく分かりません（すみません）。

aとは、いったい何を表していて、解とどういう関係にあるのでしょうか。

回答No.1

gohtraw

ｓｉｎｘ＝１／２を満たすｘは二個ありますので、
（１）実数解が２個の場合
　　ｓｉｎｘ＝ａを満たすｘがｓｉｎｘ＝１／２をも満たすということです。このときａ＝１／２です。
（２）実数解が３個の場合
　　ａは１／２ではなく、ｓｉｎｘ＝ａを満たすｘが一つしかないということです。このときａ＝１で　　　す。
（３）実数解が４個の場合
　　ａは１／２ではなく、ｓｉｎｘ＝ａを満たすｘが二つあるということです。上記の二つを除いた場合　　にこうなります。

お礼

回答いただきありがとうございました。

少し質問させていただいてよろしいですか？
回答中の

（１）実数解が２個の場合
　　ｓｉｎｘ＝ａを満たすｘがｓｉｎｘ＝１／２をも満たすということです。このときａ＝１／２です。

と書いていただいたのは、sinxで１/２の時に、２つすでに解があるので、もうほかには解はない→＝a
=１/２ということになりますか？

また、解が３個というのは、sinxで答えが９０度になるとき→１なのでa＝１になりますか？