指数方程式と対数方程式の解の理論

質問

青チャートII＋Bの重要例題158の(2)の問題です。

■aを定数とする。xの方程式 {log[2](x^2+√2)}^2-2*log[2](x^2+√2)+a=0　の実数解の個数を求めよ。■

この問題の解説で、「【log[2](x^2+√2)=ｔ　・・・(1) とするとき　x^2≧0 より　(x^2+√2)≧(√2)、t≧1/2　】
　(1)を満たすxの個数は　t=1/2のとき　x=0の１個、　t>1/2のとき x^2>0であるから2個　～」
・・・とあるのですが。。。

まず、一つ目について。

log[2](x^2+√2)=1/2　→　 log[2](x^2+√2)=log[2](√2)　だから　(x^2+√2)=(√2)　で　x^2=0　となり

「x^2≧0」という条件があるから「t=1/2のとき　x=0の１個」という考えで大丈夫でしょうか？？

また、もう一つの「t>1/2のとき x^2>0であるから2個」がさっぱり理解できません；；
なんで２個なの？というのが私の疑問です。。。

「+(プラス)、-(マイナス)」があるから「２個」ということでしょうか？

HELP　ME!!!

回答No.3

kacchann · ベストアンサー

チャートの解答ものすごいなｗ

以前同じ問題に対して回答したので参考にして。
http://okwave.jp/qa/q6188827.html
(No.2の回答のアのグラフね)

図を書くとわかりやすいし間違えにくいので、
図を書く習慣をつけよう。
---

もしくは
数式処理だけで説明するなら

式(1)
⇔x^2+√2＝2^t
⇔x^2=2^t-√2
⇔x=±・・・

とまでやって説明する必要があるとおもうけど、
ノートの下書きにはやっぱりグラフは書きたいところ。

重要なのは，
「自分によくわかるように」解答つくる習慣を持つことだよ。

お礼

物凄くすっきりしました！
図を書くことが重要だと再確認しました。ありがとうございますっ

回答No.2

mister_moonlight

この質問は、対数に限らず三角関数においても同じ質問が発生するだろう。

「【log[2](x^2+√2)=ｔと置き換えた時、tとxの対応が　必ずしも　1対1ではないという事。
この場合でも、例えば　ｔ＝2とするとx^2＝2-√2　＞0　だから、xは正ではないからxの値は２つある。
ところが、ｔ＝1/2とするとx^2＝0　だから、x＝0だけで１個(重解)という事になる。

回答No.1

gohtraw

ひとつめはそれでいいのではないでしょうか？

二つ目。
ｔ＞１／２であれば２＾ｔは√２よりも大きいので
ｘ＾２＋√２＝√２＋α　（α＞０）とおくことができ、
ｘ＾２＝α
ｘ＝±√α
ということかと。

補足

後半部分をもう少し、詳しく教えてくださいｍ(＿　＿)ｍお願いします