対数の2次関数です

質問

(1)　{log[10](x/3)}{log[10](3/x)}=log[10](9)　が2つの実数解をもつことを証明せよ。
(2)　上の式の解α、β(α＜β)と3と10ｎ大小関係を示せ。
　　ただし、0＜log[10](3)＜log[10]√10＝1/2　を用いてよい。

という問題です。
[10]は底が10ということです。

(1)は式を展開して、(以下ログの底は省略)
(log x - log3)(log3 - log x) = log3^2
(log x)^2 - 2・log3・log x + (log3)^2 + 2・log 3 = 0
となり、
log x = X
とおいて解の公式を用いると√の中にマイナスが入ってしまいます。
なので問題を写し間違えたかもしれません。

もしlog[10](9)を-log[10](9)に置き換えると
x = log[10](3)±√(2・log[10](3))
となると思いますがあってますでしょうか。

このあと(2)で大小を比較するとき、10との大小関係が示せません。
おそらく
β＜3＜10＜α
となると思うのですが、
10＜α
が示せません。

かなり見づらくなってしまい申し訳ありませんが、
特に(2)について、よろしくお願いします。
(1)も解き方おかしい部分ありましたら正しい解き方を教えてください。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

(1)
{log_[10](x/3)}{log_[10](3/x)}=-log_[10](9)
{log_[10](x)-log_[10](3)}{log_[10](3)-log_[10](x)}=-log_[10](9)
{log_[10](x)-log_[10](3)}^2=log_[10](9)
log_[10](x)-log_[10](3)=±√{2log_[10](3)}
log_[10](x)=log_[10](3)±√{2log_[10](3)}
x=10^{log_[10](3)±√{2log_[10](3)}}
x=3*10^{±√{2log_[10](3)}}
(2)
α=3*10^{-√{log_[10](9)}}
β=10^{log_[10](3)+√{log_[10](9)}}

-√{2log_[10](3)}<0
10^{-√{2log_[10](3)}}<1
α=3*10^{-√{2log_[10](3)}}<3

10<9^2=81
log10<2log9
1/2<log_[10](9)
0.7<(√2)/2<√{log_[10](9)}
log10<3log3
0.3<1/3<log_[10](3)
1=0.3+0.7<(1/3)+(√2)/2<log_[10](3)+√{log_[10](9)}
10<10^{log_[10](3)+√{log_[10](9)}}=β

お礼

ご回答ありがとうございます。
おかげさまでスッキリしました。

補足

0.7 ＜ (√2)/2 ＜ √{log_[10](9)}
は
49/100 ＜ 50/100 ＜ log_[10](9)
の各辺に√つければ出せますね。

回答No.1

nag0720

＞x = log[10](3)±√(2・log[10](3))
＞となると思いますがあってますでしょうか。

正しくは、
log[10](x) = log[10](3)±√(2・log[10](3))
ですね。よって、
x = 10^(log[10](3)±√(2・log[10](3))) = 3・10^(±√(2・log[10](3)))
となるので、
α = 3/10^(√(2・log[10](3)))
β = 3・10^(√(2・log[10](3)))

一方、
0＜log[10](3)＜1/2
より、
0＜√(2・log[10](3))＜1
1＜10^(√(2・log[10](3)))＜10
なので、これから、
3＞α＞3/10
3＜β＜30

ところで、「α、β(α＜β)と3と10ｎ大小関係を示せ。」の10ｎとは何でしょう？
β＜10ｎとなるｎを求める問題なら分かるのですが、「10の」の間違いなのでしょうか。

0＜log[10](3)＜1/2
だけでは、10＜β は導きだせないのでは？

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。

補足

「10ｎ」は「10の」の間違いです。
誤字大変申し訳ございませんでした。
やはりこの条件だけでは10との大小関係は導くのは不可能そうですね。