不定積分と図形

質問

f'(x)は接線の傾き。
∫(a to b)f(x)dxはx=aからx=bまでの面積。
という意味があるのですが、

∫f(x)dxには図形的な意味はあるのでしょうか？

回答No.5

ticky · ベストアンサー

どうして、不定積分が面積につながるのか、かんがえてみました。

参考URLにあげておきましたので、ごらんください。

参考URL：

http://www94.sakura.ne.jp/~lazule-tone/picture/gensikansuu.gif

お礼

なるほど～。の一言です。

結論
F(x)+Cは[x,α]の面積。積分定数Cはαの値によって決まる。
というので、どうですか？上手くいきませんかねぇ。
まぁ、-F(α)=Cとしただけなので、たいした事ではないですね。

ご回答ありがとうございました。

回答No.7

mmky

さっそく、突っ込まれましたね。
「2次では円周、3次では表面積に相当するものと考えたのですが」
回答：そうです。
[円周、円の表面積を円の半径で積分したら円の面積、球の体積になる事と関係ありますか？]
回答：そのやりかたの一般系ですね。

ｎ次元球の体積表示は、以下でした。
（ｎ-1）が正解です。ちょっとミスりました。ごめん。
{（Sn)∫R＾(n-1) ｄR }
Sn=2π＾(n/2)/Γ(n/2) です。Γはガンマ関数（数値）です。
Γ(1/2)=√π　,Γ(1)=1 などです。
S1=2、S2=2π、S3=4π、S4=２π＾2 ,S5=(8/3)π＾2
この場合の積分表示は
n=1 S1=2　∫R＾(0) ｄR＝Ｒ　で2Ｒ　（1次元は線分）
n=2 S2=2π　∫R＾(1) ｄR＝Ｒ＾2/2　でπＲ＾2　（2次元は面積）
n=3 S3=4π　∫R＾(2) ｄR＝Ｒ＾2/3　で4πＲ＾3/3　
n=4 S3=2π＾2　∫R＾(3) ｄR＝Ｒ＾4/4　でπ＾2Ｒ＾4/2
・・・・・・・
n=ｎ Sｎ=2π＾(n/2)/Γ(n/2)　
∫R＾(ｎ-1) ｄR＝Ｒ＾ｎ/ｎ　で2π＾(n/2)/Γ(n/2)Ｒ＾ｎ/ｎ
になるんです。
この場合の積分表示は半径Ｒと体積の関係だけで利用しています。
それに次元係数Ｓｎを掛けて表示しているのですね。
｛Ｒ（0→a)=a とすれば半径a の体積（1次元2次元では線分、面積と呼び
ます。）になりますが、密度ρｎとして線密度ρ1、面密度ρ2として
掛ければ体積になりますね。｝
mmkyさんは、非常に美しいと思います。このような積分表示はそうそう
あるものではないと思いますが、もっといっぱいできるといいですね。
いろんな考え方がありますので、eatern27も新しい方法を見つけて
ください。
期待しています。

お礼

なるほど～。
というか、ふ～ん、という感じですね。
Γ関数のあたりが・・・、とも思いますが、もういいです。

ご回答ありがとうございました。

回答No.6

mmky

[ある関数Ｆ(ｘ)に対して、
Ｃを都合のいい値にしてよいとしたら、図形的な意味を持たせる事は可能ですか？]
線分で囲まれた面積や体積を計算するという概念はありますが、
mmkyさんは、特別な事例を除いて一般的な図形の積分表示というのは
あまり見たことはありません。
でも、２次元、３次元図形は多様な形状をしていますので、
新たに定義（約束）を与えて積分表示をすれば便利だと思います。
例えば、
シュワルッツさんは、積分表示{（Sn)∫R＾n ｄR }で半径Rのｎ次元球体
(体積）を表示しています。
ということで、mmkyさんは可能だと思いますし、たいへん面白いと思います。eatern27さん、なければ作ればいいじゃないですか。
なんでも楽しくつくっちゃいましょう。
参考程度まで

補足

{（Sn)∫R＾n ｄR }
の(Sn)って何ですか？
2次では円周、3次では表面積に相当するものと考えたのですが、それでは上手くいかないし、
n=2のとき、∫R＾2 ｄR =R^3/3となるから、Sn＝3π/R
n=3のとき、∫R＾3 ｄR =R^4/4となるから、Sn＝16π/3R
多分、的外れな事だと思うので、教えてください。

円周、円の表面積を円の半径で積分したら円の面積、球の体積になる事と関係ありますか？

＞なければ作ればいいじゃないですか。
作れたらいいんですけどね～。

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

mmky

eatern27さんの何か勘違いをしているのでしょうか？
に対して、
確かにtickyさんの回答のように、不定積分では、積分で表示する関数には
なりえませんね。
積分表示に図形的な意味を持たせるということは、その積分の値がしっかりと形（収束する。）を持つ必要がありますね。
積分全体の形を決めておいてその上での区間表示は可能かもしれません。
例えば、ガウス分布（図形）の積分表示は全体値を規格化した上で利用しています。これも図形的な表現ですよね。
だけども、一般的な意味で不定積分に図形の意味を持たせるのは、
無理ということですね。
ということかなあ。

補足

積分定数Ｃがいろんな値を取りえるから、意味がないと言うのなら、
ある関数Ｆ(ｘ)に対して、
Ｃを都合のいい値にしてよいとしたら、図形的な意味を持たせる事は可能ですか？

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

ticky

自信はありませんが、不定積分（∫f(x)dx）そのものには、ある関数f(x)の原始関数以上の意味はなく、したがって図形的な意味はないと思います。
∫f(x)dx＝F(x)とすると、、F(x)の定数項はどんな値であっても、
F'(x)＝f(x) ですから、積分定数が必要になるのです。

面積との関係は、区分求積法によって、結びつきます。

お礼

F(x)に図形的な意味はないのですか。
図形的に意味のないものの差が、面積になる・・・。納得がいきませんね。
F(b)-F(a)が面積になるのは分かるのですが・・・。

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

mmky

eatern27さんの質問
[∫f(x)dxには図形的な意味はあるのでしょうか？]
ですが、＃１のMell-Lilyさんの回答
「y=f(x)のグラフの[0,a]の面積を表します。」
は数学的に正しいと思います。
でも物理数学的な観点でいえば
図形（点、線、面積、体積）を「積分表示」で表現するという考えは
一般的な考えではないかと思います。
点の積分表示はデルタ関数の積分表示ですし、線の場合は線積分表示
面積は定積分（不定積分でもよいか？）体積は体積分表示をしますね。
積分といえば数学的には集めるという意味ですが、「積分表示」といえ
ば少し概念が変わりますね。「積分表示」は図形そのものですよね。
ということかな。
eatern27さん突っ込みはなしよ。
参考程度まで

補足

＃1さんの補足にも書いた通り、
[0,a]の面積は、F(a)-F(0)ではないでしょうか？
F(α)＝0を満たす、αがあれば、[α,a]（か[a,α]）の面積ともできますが、
そのようなαが確実にある保障はどこにもないし、積分定数Ｃの説明ができません。
何か勘違いをしているのでしょうか？

回答No.1

Mell-Lily

f'(x)
は、x=aとすれば、
　f'(a)
は、y=f(x)のx=aにおける接線の傾きを表します。
　F(x)=∫f(x)dx
は、x=aとすれば、
　F(a)
が、y=f(x)のグラフの[0,a]の面積を表します。

補足

[0,a]の面積は、F(a)-F(0)ですよね？
F(0)＝0であれば、問題ありませんが、そうでない場合もあるのではないでしょうか？

積分定数のCはどのように解釈するのでしょうか？

ご回答ありがとうございました。