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メジアン数学演習 IIB 354
nが自然数のとき、2^6n-5+3^2nは11で割り切れることを示せ。 という問題が解けないのですが解説回答していただけるとうれしいです(._.)
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- info222_
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他の方も指摘されているように回答者に問題が正しく伝わるように 式を書いてください。 >2^6n-5+3^2n 2^(6n-5)+3^(2n) でいいですか? そうであれば、数学的帰納法を使えば、nが自然数のとき F(n)=2^(6n-5)+3^(2n) が11で割り切れる、つまり11の倍数であることが証明できます。 数学的帰納法による証明 1)n=1のとき F(1)=2+9=11 ← 11で割り切れる。 2)n=k(k≧1)のとき F(k)=2^(6k-5)+3^(2k)=11*m (k,m:正整数)が成り立つとすれば 3^(2k)=11*m-2^(6k-5) …(★) n=k+1のとき F(k+1)=2^(6k+6-5)+3^(2k+2) =2^6*2^(6k-5)+3^2*3^(2k) =64*2^(6k-5)+9*3^(2k) (★)を代入 =64*2^(6k-5)+9*{11*m-2^(6k-5)} =(64-9)*2^(6k-5)+9*11*m =5*11*2^(6k-5)+9*11*m =11*{5*2^(6k-5)+9*m} ← {5*2^(6k-5)+9*m}は正整数なので11で割り切れる。 n=k+1でもF(k+1)は11で割りきれる。 よって、数学的帰納法により、全ての自然数nについてF(n)は11で割り切れることが証明された。 お分かり?
> #3 #1ですが、自分もそのルートでたどりつきました。 小さい数を入れてチェックするのは基本。 #1でわざわざ書いたのは質問者に対する注意喚起の意味です。
- gohtraw
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No2です。 {(2^6)n}-5+{(3^2)n} にせよ {2^(6n)}-5+{3^(2n)} にせよ、n=1の場合ですでに11の倍数には ならないので 2^(6n-5)+3^(2n) だと推測した次第です。ど真ん中に「-5」が あるのも何となく不自然だし。
- gohtraw
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多分、 2^(6n-5)+3^(2n) だと思いますが、この値をS(n)として、 (1)n=1のとき S(1)=2+9=11 でS(1)は11の倍数です。 (2)S(k)が11の倍数だとすると、 2^(6k-5)を11で割った商をa、余りをbとし、 3^(2k)を11で割った商をc、余りをdとすると S(k)=2^(6k-5)+3^(2k) は S(k)=11(a+c)+b+d と表され、11(a+c)は明らかに11の倍数なので、 b+dもまた11の倍数です。 (3)ここでS(k+1)を考えると S(k+1)=2^6*2^(6k-5)+3^2*3^(2k) =64*2^(6k-5)+9*3^(2k) =11(64a+9c)+64b+9d となります。11(64a+9c)は明らかに11の倍数 であり、 64b+9d=55b+9(b+d) となります。b+dは11の倍数なので9(b+d)も 11の倍数となり、 55b=11*5b なのでこれもまた11の倍数です。 以上より、S(k)が11の倍数であればS(k+1)も11の 倍数であることが示されたので、数学的帰納法により、 S(n)は11の倍数となります(nは自然数)。
その書き方だと {(2^6)n}-5+{(3^2)n} なのか {2^(6n)}-5+{3^(2n)} なのかがわかりません。 括弧をつけて書いてください。 パッと見 {2^(6n-5)}+{3^(2n)} なら11で割れますけど、これはあなたが聞いている問題と同じですか?同じか違うか補足に書いてください。 もし同じなら、n=1とn≧2とで分け、後者の場合n=m+2としてから合同式を使って処理するとうまくいきます。 このヒントをもとに手を動かして計算してみてください。 もう一度繰り返しますがべき乗や分数(/)を含んだ式をテキストで書くときは必要な括弧を用いましょう。お互いに無駄な手間をかけないためです。