数IIBの質問です。とても困っています。

質問

できましたら早めにご回答いただければ幸いです。

(1)数列｛an｝は、

a₁= 1, ∑ 【左記Σの上にnがあり、Σの下にk=1があります。その後右記へ続く】 kak = n² an ( n = 1, 2, ・・・)

によって定まるとき、{an}の一般項を求めよ。

(2)nを自然数とする。5ⁿ, 2ⁿn(n+2)の大小を比較せよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

Σ（ｋ＝１からｎ）ｋａｋ＝ｎ＾２＊ａｎ
Σ（ｋ＝１からｎー１）ｋａｋ＝（ｎ－１）＾２＊ａ（ｎ－１）

　※ａ（ｎ－１）はこの数列の第（ｎ－１）項のことです。

一式目から二式目を辺々引くと
ｎａｎ＝ｎ＾２＊ａｎー（ｎ－１）＾２＊ａ（ｎ－１）
（ｎ－１）＾２＊ａ（ｎ－１）＝（ｎ＾２－ｎ）ａｎ
（ｎ－１）＊ａ（ｎ－１）＝ｎａｎ
よって
ａｎ／ａ（ｎ－１）＝（ｎ－１）／ｎ
ここで
（ａ２／ａ１）＊（ａ３／ａ２）＊（ａ４／ａ３）＊・・・＊ａｎ／ａ（ｎ－１）
　　　　＝１／２＊２／３＊・・・＊（ｎ－１）／ｎ
両辺を整理すると
ａｎ／ａ１＝１／ｎ
ａ１＝１なので　ａｎ＝１／ｎ

お礼

迅速なご回答誠にありがとうございます<(_ _)>
とても助かりました！！！！
ちなみに、(2)nを自然数とする。5ⁿ, 2ⁿn(n+2)の大小を比較せよ。
の回答はわかりますか？
もしできましたら、お願いします。

回答No.2

gohtraw

(2)
この両者の大小を比較するということは、両者を２＾ｎで割った（５／２）＾ｎとｎ（ｎ＋２）の大小を比べるのと同じです。この両者をａｎおよびｂｎとすると、
ａｎ／ａ（ｎ－１）＝５／２　・・・（１）
であるのに対し（ａ（ｎ－１）は第（ｎ－１）項を表わします）、
ｂｎ／ｂ（ｎ－１）＝ｎ（ｎ＋２）／（ｎ－１）／（ｎ＋１）　・・・（２）
となります。（１）の値はｎの大小にかかわらず２／５ですが、（２）の値はｎが大きくなるにつれて１に近づいていきます。・・・（※）

ｎ＝１のとき（５／２）＾ｎ＝２／５、ｎ（ｎ＋２）＝３なので後者のほうが大きいのですが、上記の（※）よりどこかで大小が逆転すると予想できます。

実際に計算してみるとｎ＝２と３の間で大小が逆転します。従って、
（あ）ｎ＝１と２の場合はｎ（ｎ＋２）のほうが大きいこと
（い）ｎ＝３になると大小が逆転すること
（う）上記の（※）より、ｎ＝４以上では常に（５／２）＾ｎのほうが大きいこと
を示せばいいと思います。

お礼

…と思ったら早速(2)のご回答ありがとうございます！！
本当に助かりました。
重ねて御礼申し上げます<(_ _)>