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数学の、平方根の問題です。
２００１以下の自然数 n について、√８４n（ルート８４n) が整数となるような n の個数を求めよ。（解説もよろしくお願いします）
- Autumnroom
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質問者が選んだベストアンサー
84を素因数分解すると２＾２＊３＊７ですね。 ですから√84は２√２１になります。 順番に考えていくと ｎが21の時に√２１＊ｎ＝21になります。 後はｎが２＾２＊21の時に２＊２１になります。 2001÷２１は９５、・・・ですので ９５までの数で同じかすを掛けたモノを探せばいいわけです その数をXとすると、 ｘ＝１、４、９、１６、２５，３６、４９、６４、８１ の9個です。 素因数分解をすると ２＾２＊３＊７＊３＊７＊X ですｎ＝２１＊Xです。
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- weboner
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解説 √84ｎ=2*√21n √21nが整数になるためには n=21yである必要がある √84n=2*√（21*21y）=2*21*√y √yが整数になるためには y=x^2である必要がある 自然数nは n=21*x^2と表すことが出来る nは2001以下の自然数なので 21*x^2≦2001 が成り立つ x≦√(2001/21) x≦9.7614401747751487059252071982948 xは正の整数であるため 0<x≦9 の9個 正解かな?
お礼
色々と挙げて、調べていただいて、どうも有難うございました。９個で正解と思います。
- weboner
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No1，3，5，8回答者です なんか、答えが複数出てますね n=1～n=2001までExcelで総当り計算しました 結果No8回答で提示した9通りで間違いありませんでした
- 3322112233
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84=2・2・3・7だから、3・7と4・3・7と、16・3・7とたくさんありました。数えて下さい。
お礼
考えていただいて、どうも有り難うございました。No.４、８、１２などで挙げられてる９個で正解だと思います。
- 3322112233
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84=2・2・3・7 だから3・7=21が、最小。次は21・2・3・7次は21・42・42はこえてしまうからダメ。だから、2個かな？
- weboner
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出ました n=21*x^2 21 84 189 336 525 756 1029 1344 1701 ↑の9通り
- info222_
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k=√(84n)=2√(3*7*n) これが整数になるためには n は 3*7の倍数でなくてはならない。 n=3*7m (mは自然数) このとき k=42*√(m) したがって 42≦42√(m)≦2001 1≦√(m)≦2001/42=667/14=47.6... 1≦h=√(m)≦47 n=21m=21h^2 (h=1,2,3,...,47) 「nの個数=hの個数」なので (答) 47個
お礼
どうも有り難うございました。
- weboner
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また間違えました N01 No3は取り消し 只今思考中
- comyuto
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No２です 考え方はあってると思いますが 84＝４・３・７でしたね すみません。。
お礼
どうも有り難うございました。
- weboner
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ちょっと違った n= 21 84 336 1344 この4通りでした もう一回計算式見直します n=21*2^(x*2) ですね
- comyuto
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８４を軽く分解すると ８４＝４・４・６ と表せます つまり√84＝４√6 となります つまり ｎ＝６×Ｋ＾２が入れば 整数になりますね ちなみに範囲は０＜Ｋ ６Ｋ＾2＜2001です ６×Ｋ＾２＜2001 を解くと Ｋ＜18.26・・・・ となり ０＜K＜18.26 よって １～１８までの個数で18個が答えでしょう。
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お礼
９５までの数で同じ数を掛けたモノを探せばいい、ということですね、どうも有り難うございました。