数学の、平方根の問題です。

質問

２００１以下の自然数 n について、√８４n（ルート８４n) が整数となるような n の個数を求めよ。（解説もよろしくお願いします）

回答No.4

papabeatles · ベストアンサー

84を素因数分解すると２＾２＊３＊７ですね。
ですから√84は２√２１になります。
順番に考えていくと
ｎが21の時に√２１＊ｎ＝21になります。
後はｎが２＾２＊21の時に２＊２１になります。
2001÷２１は９５、・・・ですので
　９５までの数で同じかすを掛けたモノを探せばいいわけです
　その数をXとすると、
ｘ＝１、４、９、１６、２５，３６、４９、６４、８１
の9個です。
　素因数分解をすると
　２＾２＊３＊７＊３＊７＊X
　ですｎ＝２１＊Xです。

お礼

９５までの数で同じ数を掛けたモノを探せばいい、ということですね、どうも有り難うございました。

回答No.12

weboner

解説
√84ｎ=2*√21n
√21nが整数になるためには
n=21yである必要がある
√84n=2*√（21*21y）=2*21*√y
√yが整数になるためには
y=x^2である必要がある
自然数nは
n=21*x^2と表すことが出来る

nは2001以下の自然数なので

21*x^2≦2001　が成り立つ
x≦√(2001/21)
x≦9.7614401747751487059252071982948
xは正の整数であるため
0<x≦9
の9個

正解かな?

お礼

色々と挙げて、調べていただいて、どうも有難うございました。９個で正解と思います。

回答No.11

weboner

No1，3，5，8回答者です

なんか、答えが複数出てますね
n=1～n=2001までExcelで総当り計算しました

結果No8回答で提示した9通りで間違いありませんでした

回答No.10

3322112233

84=2・2・3・7だから、3・7と4・3・7と、16・3・7とたくさんありました。数えて下さい。

お礼

考えていただいて、どうも有り難うございました。No.４、８、１２などで挙げられてる９個で正解だと思います。

回答No.9

3322112233

84=2・2・3・7 だから3・7=21が、最小。次は21・2・3・7次は21・42・42はこえてしまうからダメ。だから、2個かな？

回答No.8

weboner

出ました

n=21*x^2　　
21
84
189
336
525
756
1029
1344
1701
↑の9通り

回答No.7

info222_

k=√(84n)=2√(3*7*n)
これが整数になるためには n は 3*7の倍数でなくてはならない。
n=3*7m (mは自然数)
このとき
k=42*√(m)
したがって
42≦42√(m)≦2001
1≦√(m)≦2001/42=667/14=47.6...
1≦h=√(m)≦47
n=21m=21h^2 (h=1,2,3,...,47)
「nの個数=hの個数」なので
(答) 47個

お礼

どうも有り難うございました。

回答No.6

weboner

また間違えました
N01 No3は取り消し

只今思考中

回答No.5

comyuto

No２です

考え方はあってると思いますが
84＝４・３・７でしたね　すみません。。

お礼

どうも有り難うございました。

回答No.3

weboner

ちょっと違った
n=
21
84
336
1344
この4通りでした

もう一回計算式見直します

n=21*2^(x*2)
ですね

回答No.2

comyuto

８４を軽く分解すると　８４＝４・４・６　と表せます

つまり√84＝４√6　となります

つまり　ｎ＝６×Ｋ＾２が入れば　整数になりますね

ちなみに範囲は０＜Ｋ　６Ｋ＾2＜2001です

６×Ｋ＾２＜2001　を解くと
Ｋ＜18.26・・・・
となり　０＜K＜18.26
よって　１～１８までの個数で18個が答えでしょう。