対数logの初歩的な質問です。

質問

初歩的な質問で恐縮です。数学を忘れてしまった社会人なのですが、以下の（１）～（３）について、どなたか教えて頂けますと幸いです。

Z＝X^a・Y^b（a、bは正の定数）の両辺の対数をとると、
logZ＝logX^a＋logY^bになるそうなのですが、

（１）これはどういう過程というかルールを経て、このようになるのでしょうか？

（２）ここのlogZなどの底はeなのでしょうか？

またさらにこれはalogX＋blogYになるそうなのですが、
（３）これもどういう過程というかルールを経て、このようになるのでしょうか？

私が分かるのは、たとえば2^3＝8というのがあれば、3＝log2８というくらいなので、申し訳ありませんが、数値例も交えて教えて頂けると助かります。

回答No.1

uyama33 · ベストアンサー

Z＝X^a・Y^b（a、bは正の定数）の両辺の対数をとると、
logZ＝logX^a＋logY^bになるそうなのです

基本性質（とあいあえず底を２とします。）
logXY＝logX＋logY
から、
Ｘ＝2^α、Ｙ＝２＾β
とすれば、
ＸＹ＝２＾(α+β)
となります。
ｌｏｇＸＹ＝α+β
ｌｏｇＸ＝α，　　ｌｏｇＹ＝β
これから、
logXY＝logX＋logY
が成立します。

このＸ、Ｙな複雑になったものが
ご質問に式です。

底は何でも良い。10、２，ｅの場合が多い。

Ｘ＝２＾α　のとき
Ｘ＾ａ＝（２＾α）＾ａ＝２＾（αａ）
ｌｏｇ（Ｘ＾ａ）＝αａ＝ａα＝ａ*ｌｏｇＸ
ですね。

になるそうなのです

お礼

ありがとうございます！とてもよく理解できました。

回答No.2

hosima

(1)確か公式で　log(ab)=log(a)+log(b)　と分解できる公式がありました。
　　どのようにしてこれが出てきたかはわかりませんが、上の公式を使うとできます。

(2)高校の数学の教科書などでみるとそう表記されていますが、コンピュータのExcelや関数電卓などでは
　　logのときは底が10で、eが底のときはｌｎと表示することが多いので、どうなのか・・・ちょっと・・・

(3)これも対数に関する公式　log(A^b)=b*logA 　という公式があったのでこれを使うとできます。

確かに2^3=8ならlog2８=3とはなります（底は2）。ただし、例として10＾2＝100なら底が10なのでlog10(100)=2とはなりますが、
底がeならばe＾2＝5.4となり100とはなりません。loge（100）＝4.605となるので底がeと10とでは全く値が異なります。
なので（2）さえはっきりすれば解けるのではないでしょうか。

高校の数学(2)、数学(3)などの教科書を参考にするといいのではないでしょうか（特に数学(2)）。

お礼

ありがとうございます。エクセルに関する点についてまで教えてくださいまして、とても勉強になりました。