対数微分法の問題が分かりません。

質問

次の問題の解き方が分かりません。
　次の関数の導関数を対数微分法を用いて求めよ。
ただし、aは定数である。
と言う問題で、x^x^aを解こうとしたのですが、
y = x^x^a
logy = alogxlogx
y'/y = a/x/x*(logx+1)
y' = a/x/x*(logx+1)*x^x^a
となり、分かりません。
答えは、(alogx+1)x^(x^a)+a-1となるようなのですが、
どなたか教えていただけないでしょうか。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

> y = x^(x^a)
> log(y) = alogxlogx ×
log(y) = (x^a)log(x)
>y'/y = a/x/x*(logx+1)　×
y'/y = a(x^(a-1))*log(x)+x^(a-1) = (x^(a-1))(log(x^a)+1)

> y' = a/x/x*(logx+1)*x^x^a ×
y' = (x^(x^a))(x^(a-1))(log(x^a)+1)
=(log(x^a)+1)*x^((x^a)+a-1)
となりますので
> 答えは、(a*log(x)+1)x^((x^a)+a-1)
の答と一致します。

お礼

大変良く分かりました。とても早くにご解答頂きありがとうございました。

回答No.2

jamf0421

z=x^a...(1)
とすれば、
dz/dx=ax^(a-1)...(2)
とですね。ところで与式の対数をとれば、
lny=x^alnx=zlnx...(3)
となるのではないでしょうか？（lnは自然対数です。）
両辺をxで微分すると
(1/y)dy/dx=(dz/dx)lnx+z/x...(4)
となり、これに(2)を代入し整理すると、
dy/dx=y{ax^(a-1)lnx+x^(a-1)}
即ち
dy/dx=x^x^a{ax^(a-1)lnx+x^(a-1)}=(x^x^a)(x^(a-1)){alnx+1}...(5)
となりまして質問者さんの提示された回答と合わないのですが、もとの式はxのx^a乗ですよね。

お礼

書き方が悪く誤解されてしまいましたが、あなたの解答で合っています。
本当にありがとうございました。