5-8 高校数学 場合の数

質問

nを正の整数とし,n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える、ただし1個のボールも入らない箱があってもよいとする　以下に述べる4つの場合について、それぞれ相異なる入れ方の総数を求めたい

(1)1からnまで異なる番号のついたn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか

(2)互いに区別のつかないn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか

(3)１からnまで異なる番号のついたn個のボールを区別のつかない3つの箱に入れる場合その入れ方は全部で何通りあるか

(4)nが6の倍数6mであるときn個の互いに区別のつかないボールを区別のつかない3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか

解説(1)は3^n通り　(2)は[n+2]C[2]=(n^2+3n+2)/2通り

(3)求める場合の数を次のように三分割する

n個とも1箱だけにいれるもの・・・ｘ通り
n個を2箱に分散して入れるもの・・y通り
n個を3箱に分散して入れるもの・・・z通り

これらx,y,zと(1)との関係を考えると、まずx=1であり(1)ではこれを3通りと数えy通りの1つ1つを(1)では
3!通りと数えz通りの1つ１つを(1)では3!通りと数えている　したがって
x×3+(y+z)×6=3^nよって求める場合の数x+y+zは1+y+z=1+(3^n-1×3)/6={3^(n-1)+1}/2通り

(4)3箱のボールの個数をa,b,c(a<=b<=c)としa=b=cをみたすもの・・p通り

a=b<c or a<b=cをみたすもの・・q通り
a<b<cをみたすもの・・r通り

すると(2)の場合の数はp+3q+6r通りと数えられるからp+3q+6r=(n^2+3n+2)/2・・・(2)

ここでp=1であり、またq通りは(0,0,6m),(1,1,6m-2),・・・、(3m,3m,0)の3m+1通りから(2m,2m,2m)の1通り
を除いてq=3mである　

よって(2)からr=1/6×{(36m^2+18m+2)-(1+3×3m)}=3m^2
以上により答えはp+q+r=3m^2+3m+1通り

とあるのですが

(3)のx,y,zが(1)で1や3!通りずつという所と
x×3+(y+z)×6=3^n の所が何を意味しているのか分かりません

(4)の解説で(2)の場合の数がp+3q+6rの所とr=1/6{}=3m^2
以上によりp+q+r=3m^2+3m+1通りというのが何でなのか分かりません

回答No.2

at9_am · ベストアンサー

> >xとy,zの違いは、一番多く入った箱以外の二つの箱を区別するかどうかだけです。
> これはどういう事でしょうか？yとzが同じになるのが分かりません

yとzの数が同じ通りになるのではなく、同じ考え方で計算できる、という意味で「同じ」なのです。
例えば
　(6,2,1)、(6,1,2)、(1,6,2)、(1,2,6)、(2,6,1)、(2,1,6)
は全て同じものとして考えられますが、同様にして
　(6,3,0)、(6,0,3)、(0,6,3)、(0,3,6)、(3,6,0)、(3,0,6)
となります。この両者は同じものですから、分けて考えるのではなく、同じものだとして(y+z)を求めた方が楽です。

> >A→3通り、B→2通り、Cは残り、と3!通り（6通り）あるはずです。
> Aが3通りBが2通りになるのが何故なのか分かりません、(3^n-3)を3!で割れば答えになるのも何故なのか分かりません

これは書き方が悪かったかなと思います。
ABCと名前が振られている箱の名前を付け替えたとした場合には、3!＝6通りの付け替え方があるはずです。
つまり、その分だけ重複している＝除かなければならない、というわけです。

> (3^n-3)を3!で割れば答えになるのも何故なのか分かりません

(1)から、3^n通りあるのは大丈夫ですね？
ここから、どれか一つの箱にだけ入っている場合の3通りを引くと(3^n-3)になります。
更に重複分を除く為に3!で割り、答えを得ます。

> 奇数と偶数で分けるのは何故ですか？偶数と奇数がm通りになるのが分かりません

偶数だと、bとcで分けた時にb=cになる場合がありますが、奇数ではそうならないためです。
奇数ではb=cとなる場合を考慮せずに分け方を考えられますが、偶数ではb=cとなる場合を考慮しなければならないため、奇数と偶数では数え方が異なります。そのため、分けて考えざるを得ないのです。

> 偶数の時だけb=cの場合を考えて除外するのは何故ですか？除外した数は何個ですか？

b=cは既に「a=b<c or a<b=cをみたすもの・・q通り」で済んでいますから、ここで再度数えると重複してしまいます。
除外した数は前回の回答にも書いてありますが、「同様にb=cのときはbは2m+1から3mまでのm通り」となっています。

お礼

御返答有難うございます

補足

>この両者は同じものですから、分けて考えるのではなく、同じものだとして(y+z)を求めた>方が楽です。
同じと言うのがどの部分が同じかが分からないです

>bは2m+1から3mまでのm通り」となっています。
2m+1から3mが何故m通りになるんですか？

回答No.1

at9_am

場合の数の問題のコツ。固い頭を柔らかく。

> (1)1からnまで異なる番号のついたn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか

例えばこの問題はこうだったら解けますね？
・ABCのいずれかの文字をn個並べてできる文字列はいくつあるか？
するとそれぞれ3通り・n個あるから3^n通りある、と分かるはず。

> (2)互いに区別のつかないn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか

この場合、要するに「Aの箱・Bの箱、Cの箱にそれぞれ何個入っているのか」が何通りかを考えれば良いですよね？
しかも、全体数がn個と決まっているわけですから、AとBの箱が決まればCの箱も決まるはずです。
Aの箱は0個～n個の(n+1)通りあり、Aの個数をaとすればBの箱は0個～(n-a)個の(n-a+1)通りあるはずです。
したがって、
　Aが0個・・・Bはn+1通り
　Aが1個・・・Bはn通り
　Aが2個・・・Bはn-1通り
　　・・・
　Aがn-1個・・・Bは2通り
　Aがn個・・・Bは1通り
の合計ですから、1+2+・・・+(n+1)=(n+1)((n+1)+1)/2 = (n+1)(n+2)/2 = (n^2 + 3n + 2)/2
となるわけです。

> (3)１からnまで異なる番号のついたn個のボールを区別のつかない3つの箱に入れる場合その入れ方は全部で何通りあるか
> n個とも1箱だけにいれるもの・・・ｘ通り

これが(1)の数え方なら3通りあり、(3)の形では1通りなのは良いと思います。

> n個を2箱に分散して入れるもの・・y通り
> n個を3箱に分散して入れるもの・・・z通り

実は、yとzは同じものだというのは分かるでしょうか？
xとy,zの違いは、一番多く入った箱以外の二つの箱を区別するかどうかだけです。

便宜的に箱をABCと名前をつけると、(1)の結果から(3^n-3)通りある、というのは良いと思います。
この箱の名前を付け替えるとすれば、A→3通り、B→2通り、Cは残り、と3!通り（6通り）あるはずです。
したがって、(3^n-3)を3!で割れば答えになりますから、
　x+y+z = 1 + (3^n-3)÷3! = 1+ 3^n÷6 - 3÷6 = 1 + 3^(n-1)/2 - 1/2 = 3^(n-1)/2 + 1/2
　= {3^(n-1) + 1} /2
となります。

> (4)nが6の倍数6mであるときn個の互いに区別のつかないボールを区別のつかない3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか

この手の問題は、解説のように、A≦B≦Cのように個数をある程度絞らないと大変ですね。数学的な意味合いはあまりなく、回答テクニックとして知っておくべきものです。

まず、a=b=c の時は1通りしかないのは問題ないでしょう。このとき、a=b=c=2mです。

次に
　a=b<c or a<b=cをみたすもの・・q通り
ですが、a=bのとき、a<cなのでaは0から2m-1までの2m通り、同様にb=cのときはbは2m+1から3mまでのm通りあるはずです。

最後に問題なのがこれです。
　a<b<cをみたすもの・・r通り
a<b<cから、aは0～2m-1までの2m通りあるはずです。aとbが決まればcも決まるという関係上、aとbだけを考えればよいです。
ここでaが奇数のときはm通りあり、
　a=2m-1の時、b+c=4m+1からbは2mの1通り
　a=2m-3の時、b+c=4m+3からbは2m-2～2m+1の4通り
　a=2m-5の時、b+c=4m+5からbは2m-4～2m+2の7通り
　・・・
　a=1の時、b+c=6m-1からbは2～3m-1の(3m-2)通り
よりΣ(3m-2)=3m(m+1)/2-2m通り

偶数のときも同様にm通りあり、（b=cとなるときを除外しなければならないのに注意）
　a=2m-2の時、b+c=4m+2からbは2m-1～2mの2通り
　a=2m-4の時、b+c=4m+4からbは2m-3～2m+1の5通り
　a=2m-6の時、b+c=4m+6からbは2m-5～2m+2の8通り
　・・・
　a=0の時、b+c=6mからbは1～3m-1の(3m-1)通り
よりΣ(3m-1)=3m(m+1)/2-m通り

したがって、合計して
　3m(m+1)/2-2m + 3m(m+1)/2-m = 3m^2 + 3m - 3m = 3m^2
となります。

以上より合計は
　1 + 2m + m + 3m^2 = 3m^2 + 3m + 1

お礼

御返答有難うございます

補足

>xとy,zの違いは、一番多く入った箱以外の二つの箱を区別するかどうかだけです。
これはどういう事でしょうか？yとzが同じになるのが分かりません

>A→3通り、B→2通り、Cは残り、と3!通り（6通り）あるはずです。
>したがって、(3^n-3)を3!で割れば答えになりますから
Aが3通りBが2通りになるのが何故なのか分かりません、(3^n-3)を3!で割れば答えになるのも何故なのか分かりません

>aが奇数のときはm通りあり偶数のときも同様にm通りあり、（b=cとなるときを除外しなけ>ればならないのに注意）
奇数と偶数で分けるのは何故ですか？偶数と奇数がm通りになるのが分かりません
偶数の時だけb=cの場合を考えて除外するのは何故ですか？除外した数は何個ですか？