場合の数

質問

12個のボールを3つの箱に分けて入れるとき、以下の場合について、入れ方の総数を求めよ。
(1)ボールに1～12の番号がついていて、箱もＡ，Ｂ，Ｃと区別できるとき。
(2)ボールの区別ができずに、箱はＡ，Ｂ，Ｃと区別できるとき。
(3)ボールに1～12の番号がついていて、箱が区別できないとき。
(4)ボールも箱も区別できないとき。

上記の問題で、(1)の解答は3の12乗、(2)まではわかりました。
(3)と(4)に関してどのように解いたらよいのかが分かりません。お教えいただければ幸いです。

回答No.5

rnakamra · ベストアンサー

#2のものです。
>(3の12乗－3）÷3!＋1＝88574　である様に思います。

その通りです。1個の箱だけに12個入っている場合は他の二つの箱は見分けが付かないので分けないといけないのでした。
2個の箱に入っていて1個の箱が空の場合、これは箱を3個とも使用していますし、ボールに番号が割り振っていますからたとえボールの数が同じであっても箱に見分けが付く場合の1/3!となることで間違いありません。
(1,2,3,4,5,6が入っている箱と7,8,9,10,11,12は入っている箱は明確に異なるものと判断されます。この2種類の箱と空の箱1個で箱に番号をつける場合3!通りの付け方が存在します。)

回答No.7

mesenfants

NO６の訂正とつづきです（苦）（汗）。
（8）（2）（2）→１２Ｃ８×４Ｃ２÷２
（6）（6）（）→１２Ｃ６÷２

（6）（5）（1）→１２Ｃ６×６Ｃ５
（6）（4）（2）→１２Ｃ６×６Ｃ４
（6）（3）（3）→１２Ｃ６×６Ｃ３÷２
（5）（5）（2）→１２Ｃ５×７Ｃ５÷２
（5）（4）（3）→１２Ｃ５×７Ｃ４
（4）（4）（4）→１２Ｃ４×８Ｃ４÷３！

でおしまい。もっときれいな解き方がありますね、きっと。

回答No.6

mesenfants

（３）なんですが、あれでいいのでしょうか。
ちょっと心配で、こう考えてみました。
（　）（　）（　）名前のない箱が三つをこうします。
（12）（）（）→１通り
（11）（1）（）→１２Ｃ１１＝１２Ｃ１　通り
（10）（2）（）→１２Ｃ１０　通り
（10）（1）（1）→１２Ｃ１０　通り
（9）（3）（）→１２Ｃ９　通り
（9）（2）（1）→１２Ｃ９×３Ｃ２　通り
（8）（4）（）→１２Ｃ８　通り
（8）（3）（1）→１２Ｃ８×４Ｃ３　
（8）（2）（2）→１２Ｃ８×４Ｃ２
（7）（5）（）→１２Ｃ７
（7）（4）（1）→１２Ｃ７×５Ｃ４
（7）（3）（2）→１２Ｃ７×５Ｃ３
（6）（6）（）→１２Ｃ６

箱に区別はないのだから、以上の合計になるのでは。
まだ少し不安が。

回答No.4

mesenfants

(２)は
１～１２までを３人（ＡＢＣ）で分ける（もらえない人がいてもいい）と解釈して解くと、
１～１２にＸＹ（二つがミソ！）を加えて１４とみなし、その１４箇所をＸＹ（ＸＹの順番はどうでもいい）がどう占めるか（それで３人に分ける）でいいのではないでしょうか。たとえば左端ＸＹをいれるとＣくんがすべてもらう。右端にＸＹだとＡくんが全て、左にＸ・右端にＹだとすべてＢくんのものになります。１２Ｘ３４５６７Ｙ８９101112だとＡ（２個）Ｂ（５個）Ｃ（５個）となります。１～１２に区別がないなら○が１２個並んでいるわけですから、○（まる）１２個と×（ばつ）２個の並べ方と同じで、
14C12＝14C2
でどうでしょう。
（３）はＡＢＣの箱に入る数で実質的に箱を識別できるから、単純に３！で割るところに思考の漏れがあるかもしれません。

ちょっと時間のない状態であたふた考えているので、またゆっくり（そな悠長なですみません）やらせていただきます。とりあえず。

回答No.3

mesenfants

No.1です
どの箱も４個ずつ入れるものと早合点していました。
また、空の箱があってもよかったんですね。
失礼しました。
（４）はNo.2の方がきれいに解いておられます。

失礼しました。

お礼

訂正の分も含めてありがとうございます。

まだ問題が解けておらず、尚思考中ですが、また解答がわかればお教え頂ければ幸いです。

補足

解答のお礼の欄を書かせて頂いた段階では解けていませんでしたが、
（3の12乗－3）÷3!＋1＝88574　である様に思います。

問題(1)の答えを3!で割るということを基本に、どこか1つの箱に12個固まった場合3通りだけ除いてから3!で割り、最後に3÷3=1を足せばよいような気がしました。

回答No.2

rnakamra

(3)
(1)の問題で箱に区別がつかないということですので箱を入れ替える通りの数3!=6で(1)の答えを割ればよい。

(3)ボールも箱も見分けがつかない。→箱に入る数の違いだけがある。
3個の箱の中で一番入っているボールの数が少ないものは、そのボールの数は多くても12/3=4個である。
0,1,2,3,4の場合で通りの数をカウントしてみる。
0個の場合：
2番目に数が少ない箱の中のボールの数は0,1,2,3,4,5,6の7通り
1個の場合：
2番目に数が少ない箱の中のボールの数は1,2,3,4,5の5通り
2個の場合：
2番目に数が少ない箱の中のボールの数は2,3,4,5の4通り
3個の場合：
2番目に数が少ない箱の中のボールの数は3,4の2通り
4個の場合：
2番目に数が少ない箱の中のボールの数は4の1通り

7+5+4+2+1=19通り

お礼

(4)有り難うございました。

補足

ご返事を頂き有り難うございます。恐縮ですが

(3)
(1)の問題で箱に区別がつかないということですので箱を入れ替える通りの数3!=6で(1)の答えを割ればよい。

ということですが、もしも(1)の答えを3!で割ると答えが分数になり、良くないと思います。(3の12乗÷6は整数値にならない)

回答No.1

mesenfants

たぶんこうでは。
（３）１２個から４個選び、残り８個から４個選ぶ。残り４個はつねにI通りに決まるので考えなくていい。箱にも区別がないので同じく無視。
答え　１２Ｃ４×８Ｃ４

（４）（３）の答えの一つ一つに区別がつかないので
答え　１通り

どこかに思考漏れがあるかもしれませんよ。あとは自分で考えてください。もちろん順列で考えてダブりを帳消しにして調整する方法もあるでしょう。でも、組み合わせの考え方から順列の考えに戻っていくほうが勉強になるような気がします。ひとそれぞれですが。上記もゼッタイではありませんよ、念のため。